Troisième
Deux allées qui se croisent (configuration papillon)
Énoncé
Dans un parc, deux allées rectilignes se croisent au point . Sur la première allée se trouvent une fontaine et un banc , situés de part et d'autre de . Sur la seconde allée se trouvent une statue et un chêne , eux aussi de part et d'autre de . Le point est donc situé entre les segments et : c'est une configuration papillon. Deux massifs de fleurs longent les segments et , qui sont parallèles. On a mesuré m, m, m et m. 1) Calculer la longueur . 2) Calculer la longueur . 3) En déduire le périmètre du triangle .
Besoin d'un coup de pouce ?
- Les sommets se correspondent deux à deux de part et d'autre de : et . L'égalité de Thalès s'écrit donc
- Pour chaque longueur cherchée, isole les deux rapports qui contiennent une seule inconnue, puis applique le produit en croix. Pour , utilise ; pour , utilise
- Le périmètre du triangle est la somme de ses trois côtés : . Tu connais déjà , et tu viens de calculer et .
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Reconnaître la configuration papillon
Les droites et sont sécantes en , et est situé entre les parallèles et : c'est la configuration papillon. Le théorème de Thalès s'applique, avec les correspondances et -
2. Écrire l'égalité des rapports
D'après le théorème de Thalès : -
3. Calculer la longueur DE
On garde , soit Le produit en croix donne , donc m. -
4. Calculer la longueur AE
On garde , soit Le produit en croix donne , donc m. -
5. Calculer le périmètre du triangle ADE
Le périmètre est la somme des trois côtés : m. Le triangle a un périmètre de 47,5 m.
Réponse finale
Ta progression