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Rêves Vision
Troisième

Maquette d'une façade à l'échelle (longueur et aire)

Énoncé

Un architecte réalise la maquette d'une maison à l'échelle 150\dfrac{1}{50} : cela signifie que chaque longueur de la maquette est 5050 fois plus petite que la longueur réelle correspondante. Sur la maquette, la façade avant est un rectangle de hauteur 2424 cm et de largeur 4040 cm. 1) Calculer, en mètres, la hauteur réelle et la largeur réelle de la façade. 2) Calculer, en mètres carrés, l'aire réelle de cette façade. 3) On note A\mathcal{A} l'aire de la façade sur la maquette et A′\mathcal{A}' son aire réelle. Par quel nombre faut-il multiplier A\mathcal{A} pour obtenir A′\mathcal{A}' ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'échelle 150\dfrac{1}{50} est une réduction : pour passer de la réalité à la maquette on divise par 5050. Donc pour passer de la maquette à la réalité, on fait l'inverse : on multiplie par 5050. Le coefficient d'agrandissement est ici k=50.k = 50.
  2. Calcule d'abord les longueurs réelles en centimètres, puis convertis en mètres (11 m =100= 100 cm). N'oublie pas que l'aire est un produit de deux longueurs.
  3. Pour les aires, on ne multiplie pas par kk mais par k2k^{2} : si toutes les longueurs sont multipliées par kk, alors les aires sont multipliées par k2.k^{2}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Déterminer le coefficient d'agrandissement

    L'échelle 150\dfrac{1}{50} indique que la maquette est une réduction de la maison réelle : chaque longueur réelle est 5050 fois plus grande que sur la maquette. Pour passer de la maquette à la réalité, on multiplie donc les longueurs par le coefficient d'agrandissement k=50.k = 50.

  2. 2. Calculer la hauteur réelle de la façade

    La hauteur réelle vaut 5050 fois la hauteur de la maquette : 24×50=120024 \times 50 = 1200 cm. On convertit en mètres : 12001200 cm =12= 12 m (car 1200100=12\dfrac{1200}{100} = 12). La façade fait donc 12 m de haut.

  3. 3. Calculer la largeur réelle de la façade

    De même, la largeur réelle vaut 40×50=200040 \times 50 = 2000 cm =20= 20 m. La façade fait donc 20 m de large.

  4. 4. Calculer l'aire réelle de la façade

    La façade réelle est un rectangle de hauteur 1212 m et de largeur 2020 m. Son aire est A′=12×20=240\mathcal{A}' = 12 \times 20 = 240 m2.^{2}. L'aire réelle de la façade est donc de 240 m2^{2}.

  5. 5. Trouver le coefficient entre les deux aires

    Dans un agrandissement de coefficient kk, les longueurs sont multipliées par kk, mais les aires sont multipliées par k2k^{2} (car une aire est le produit de deux longueurs). Ici k=50k = 50, donc le coefficient entre les aires est k2=502=2500.k^{2} = 50^{2} = 2500. On peut vérifier : sur la maquette A=0,24×0,40=0,096\mathcal{A} = 0{,}24 \times 0{,}40 = 0{,}096 m2^{2}, et 0,096×2500=2400{,}096 \times 2500 = 240 m2=A′.^{2} = \mathcal{A}'. Il faut donc multiplier l'aire de la maquette par 2 500 pour obtenir l'aire réelle.
Réponse finale
hauteur=12 m,largeur=20 m,A′=240 m2,A′=k2×A=2500×A\text{hauteur} = 12 \text{ m}, \quad \text{largeur} = 20 \text{ m}, \quad \mathcal{A}' = 240 \text{ m}^{2}, \quad \mathcal{A}' = k^{2} \times \mathcal{A} = 2500 \times \mathcal{A}
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