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Rêves Vision
Troisième

Montrer que deux droites sont parallèles (réciproque)

Énoncé

Les points AA, MM, BB sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points AA, NN, CC. On donne AM=2AM = 2 cm, AB=5AB = 5 cm, AN=3AN = 3 cm et AC=7,5AC = 7{,}5 cm. Démontrer que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.
A B C M N
Configuration : M sur [AB], N sur [AC] (figure schématique, non à l'échelle)

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Choisir le bon outil

    On veut démontrer un parallélisme : c'est la réciproque du théorème de Thalès qu'il faut utiliser. On va comparer les rapports AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC.\dfrac{AN}{AC}.

  2. 2. Calculer le premier rapport

    AMAB=25=0,4.\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4.

  3. 3. Calculer le second rapport

    ANAC=37,5=0,4.\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4. (On peut aussi vérifier par le produit en croix : 2×7,5=152 \times 7{,}5 = 15 et 5×3=155 \times 3 = 15 : les produits sont égaux.)

  4. 4. Conclure avec la réciproque de Thalès

    Les deux rapports sont égaux : AMAB=ANAC=0,4.\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = 0{,}4. De plus, les points AA, MM, BB sont alignés dans le même ordre que AA, NN, CC. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont donc parallèles.
Réponse finale
AMAB=ANAC=0,4 et l’ordre est respecteˊ, donc (MN)∥(BC).\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = 0{,}4 \text{ et l'ordre est respecté, donc } (MN) \parallel (BC).
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