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Rêves Vision
Troisième

Agrandir un logo : retrouver le rapport et l'aire

Énoncé

Une marque de streetwear veut afficher son logo sur la vitrine d'une boutique. Le logo de départ est un triangle ABCABC rectangle en AA, avec AB=6AB = 6 cm, AC=8AC = 8 cm et l'hypoténuse BC=10BC = 10 cm. Pour la vitrine, on agrandit ce logo par une homothétie : sur l'image, l'hypoténuse mesure B′C′=15B'C' = 15 cm. a. Déterminer le rapport kk de l'homothétie. b. En déduire les longueurs A′B′A'B' et A′C′A'C' de l'image. c. Calculer l'aire du logo de départ, puis celle du logo agrandi.
A B C 6 cm 10 cm 8 cm
Logo de départ : triangle ABC rectangle en A
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le rapport kk se lit en comparant deux longueurs qui se correspondent : divise une longueur de l'image par la longueur de départ correspondante, ici B′C′BC.\dfrac{B'C'}{BC}.
  2. Une fois kk connu, chaque longueur image s'obtient en multipliant la longueur de départ par kk : applique cela à ABAB et AC.AC.
  3. Attention à l'aire : elle n'est pas multipliée par kk, mais par k2.k^2. Calcule d'abord l'aire de départ avec AB×AC2\dfrac{AB \times AC}{2} (triangle rectangle), puis multiplie par k2.k^2.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Question a : déterminer le rapport k

    Par une homothétie de rapport kk, toutes les longueurs sont multipliées par ∣k∣|k| : on a B′C′=∣k∣×BCB'C' = |k| \times BC. Le rapport (positif, car c'est un agrandissement direct) se retrouve en divisant la longueur image par la longueur de départ : k=B′C′BC=1510=1,5.k = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{15}{10} = 1{,}5. Comme ∣k∣=1,5>1|k| = 1{,}5 > 1, c'est bien un agrandissement.

  2. 2. Question b : calculer A'B' et A'C'

    Toutes les longueurs sont multipliées par le même rapport ∣k∣=1,5|k| = 1{,}5. Donc A′B′=1,5×AB=1,5×6=9A'B' = 1{,}5 \times AB = 1{,}5 \times 6 = 9 cm et A′C′=1,5×AC=1,5×8=12A'C' = 1{,}5 \times AC = 1{,}5 \times 8 = 12 cm.

  3. 3. Question c : aire du logo de départ

    Le triangle ABCABC est rectangle en AA, donc les deux côtés de l'angle droit [AB][AB] et [AC][AC] sont sa base et sa hauteur. Son aire est A=AB×AC2=6×82=482=24\mathcal{A} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24 cm2.^2.

  4. 4. Question c : aire du logo agrandi

    Par une homothétie de rapport kk, l'aire est multipliée par k2k^2 (le carré du rapport), car une aire combine deux longueurs. Ici k2=1,52=2,25.k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25. Donc A′=k2×A=2,25×24=54\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A} = 2{,}25 \times 24 = 54 cm2.^2.

  5. 5. Vérifier l'aire avec les dimensions image

    On contrôle directement avec les côtés image : le triangle image est rectangle en A′A', donc A′=A′B′×A′C′2=9×122=1082=54\mathcal{A}' = \dfrac{A'B' \times A'C'}{2} = \dfrac{9 \times 12}{2} = \dfrac{108}{2} = 54 cm2.^2. On retrouve la même valeur : l'aire est bien multipliée par 2,252{,}25 (le carré du rapport), et non par 1,5.1{,}5. Le rapport est k=1,5k = 1{,}5, l'image a pour côtés A′B′=9A'B' = 9 cm et A′C′=12A'C' = 12 cm, et son aire vaut 5454 cm2.^2.
Réponse finale
k=1510=1,5;A′B′=9 cm, A′C′=12 cm;A′=1,52×24=54 cm2k = \dfrac{15}{10} = 1{,}5 \quad ; \quad A'B' = 9 \ \text{cm}, \ A'C' = 12 \ \text{cm} \quad ; \quad \mathcal{A}' = 1{,}5^2 \times 24 = 54 \ \text{cm}^2
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