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Rêves Vision
Troisième

Homothétie : calculer une longueur image

Énoncé

On applique à une figure une homothétie de centre OO et de rapport k=3k = 3. Sur la figure de départ, AB=4AB = 4 cm et BC=2,5BC = 2{,}5 cm. On note A′A', B′B' et C′C' les images respectives de AA, BB et CC. Calculer les longueurs A′B′A'B' et B′C′B'C'.

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  1. 1. Rappeler l'effet d'une homothétie sur les longueurs

    Par une homothétie de rapport kk, toutes les longueurs sont multipliées par ∣k∣|k| : longueur image=∣k∣×longueur de deˊpart\text{longueur image} = |k| \times \text{longueur de départ}. Ici k=3k = 3, donc ∣k∣=3|k| = 3 : c'est un agrandissement (car ∣k∣>1|k| > 1).

  2. 2. Calculer A'B'

    A′B′=∣k∣×AB=3×4=12A'B' = |k| \times AB = 3 \times 4 = 12 cm.

  3. 3. Calculer B'C'

    B′C′=∣k∣×BC=3×2,5=7,5B'C' = |k| \times BC = 3 \times 2{,}5 = 7{,}5 cm.

  4. 4. Vérifier la cohérence

    Comme ∣k∣=3>1|k| = 3 > 1, la figure est agrandie : chaque longueur image est bien plus grande que la longueur de départ (12>412 > 4 et 7,5>2,57{,}5 > 2{,}5). Toutes les longueurs ont été multipliées par le même facteur 33.
Réponse finale
A′B′=3×4=12 cmetB′C′=3×2,5=7,5 cmA'B' = 3 \times 4 = 12 \ \text{cm} \quad\text{et}\quad B'C' = 3 \times 2{,}5 = 7{,}5 \ \text{cm}
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