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Charpente de toit (bonus)

Énoncé

Un toit à deux pentes symétriques repose sur un mur horizontal de 88 m de largeur. Chaque pente (appelée rampant) fait un angle de 35°35° avec l'horizontale. On étudie la moitié du toit : un triangle rectangle dont l'angle droit est au milieu du mur, la demi-largeur du mur mesure donc 44 m. 1) Calculer la longueur LL d'un rampant (de l'extrémité du mur jusqu'au sommet du toit), arrondie au centimètre. 2) Calculer la hauteur hh du sommet du toit au-dessus du mur, arrondie au centimètre. 3) Vérifier les résultats avec le théorème de Pythagore.
A B C h = ? 4 m L = ? 35°
Demi-toiture : triangle rectangle, rampant L à 35° de l'horizontale

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser la situation

    Dans le triangle rectangle de la demi-toiture, l'angle aigu vaut 35°35°. La demi-largeur du mur (44 m) est le côté adjacent à cet angle, le rampant LL est l'hypoténuse, et la hauteur hh est le côté opposé.

  2. 2. 1) Calculer la longueur du rampant L

    Adjacent et hypoténuse sont reliés par le cosinus (CAH) : cos⁡(35°)=4L.\cos(35°) = \dfrac{4}{L}. L'inconnue LL est au dénominateur, donc on divise : L=4cos⁡(35°)≈40,8192≈4,88L = \dfrac{4}{\cos(35°)} \approx \dfrac{4}{0{,}8192} \approx 4{,}88 m.

  3. 3. 2) Calculer la hauteur h

    Opposé et adjacent sont reliés par la tangente (TOA) : tan⁡(35°)=h4.\tan(35°) = \dfrac{h}{4}. L'inconnue hh est au numérateur, donc on multiplie : h=4×tan⁡(35°)≈4×0,7002≈2,80h = 4 \times \tan(35°) \approx 4 \times 0{,}7002 \approx 2{,}80 m.

  4. 4. 3) Vérifier avec Pythagore

    Dans ce triangle rectangle, LL est l'hypoténuse, donc L2=42+h2.L^2 = 4^2 + h^2. On calcule 42+2,802=16+7,84=23,84≈4,88\sqrt{4^2 + 2{,}80^2} = \sqrt{16 + 7{,}84} = \sqrt{23{,}84} \approx 4{,}88 m. On retrouve bien la longueur LL : les résultats sont cohérents.
Réponse finale
L=4cos⁡(35°)≈4,88 m;h=4×tan⁡(35°)≈2,80 mL = \dfrac{4}{\cos(35°)} \approx 4{,}88 \ \text{m} \quad ; \quad h = 4 \times \tan(35°) \approx 2{,}80 \ \text{m}
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