Troisième
Mât haubané : angle puis longueur du câble (problème)
Énoncé
Pour stabiliser un mât vertical, on tend un câble rectiligne (un hauban) qui relie le sommet du mât à un piquet planté dans le sol. Le mât mesure m de haut et le piquet est planté à m du pied du mât, sur un sol horizontal. Le mât, le sol et le câble forment un triangle rectangle dont l'angle droit est au pied du mât. 1) Calculer l'angle que fait le câble avec le sol, arrondi au dixième de degré. 2) Calculer la longueur du câble, arrondie au centimètre. 3) Vérifier ce résultat avec le théorème de Pythagore.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Commence par faire un schéma : place l'angle droit au pied du mât, repère l'opposé, l'adjacent et l'hypoténuse par rapport à α.
- Pour l'angle, tu connais l'opposé () et l'adjacent () : c'est la tangente, puis la touche .
- Pour la longueur du câble (l'hypoténuse), réutilise l'angle trouvé avec le sinus, , ou vérifie directement par Pythagore.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Modéliser la situation
Par rapport à l'angle que fait le câble avec le sol, la hauteur du mât ( m) est le côté opposé, la distance au piquet ( m) est le côté adjacent, et le câble est l'hypoténuse. -
2. 1) Calculer l'angle α
On connaît l'opposé et l'adjacent : on utilise la tangente (TOA). Avec la touche (en mode degré) : , soit environ -
3. 2) Calculer la longueur L du câble
On cherche maintenant l'hypoténuse . Le côté opposé ( m) et l'hypoténuse sont reliés par le sinus (SOH) : L'inconnue est au dénominateur, donc on divise : m. Le câble mesure environ m de long. -
4. 3) Vérifier avec Pythagore
Dans ce triangle rectangle, est l'hypoténuse, donc On calcule m. On retrouve exactement la longueur : les résultats sont cohérents.
Réponse finale
Ta progression