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Rêves Vision
Troisième

Liquide dans un entonnoir conique

Énoncé

Dans un atelier, on utilise un entonnoir en forme de cône de révolution dont l'ouverture a un rayon R=6R = 6 cm et dont la hauteur totale est h=9h = 9 cm (la pointe est dirigée vers le bas). On verse de l'huile : elle remplit le bas de l'entonnoir et forme un petit cône de hauteur 66 cm, dont la surface libre est parallèle à l'ouverture. Calculer d'abord le volume total de l'entonnoir, puis le volume d'huile versée. On donnera chaque résultat en valeur exacte en fonction de π\pi, puis une valeur approchée au dixième de cm3\text{cm}^3.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour le volume d'un cône, pense à la formule V=13×πR2×hV = \dfrac{1}{3} \times \pi R^2 \times h : n'oublie pas le facteur 13\dfrac{1}{3}.
  2. La surface de l'huile est parallèle à l'ouverture : le petit cône d'huile a la même forme que le grand. C'est une réduction de rapport kk, que tu trouves en comparant les hauteurs.
  3. Une fois k=23k = \dfrac{2}{3} trouvé, le volume d'huile vaut le volume total multiplié par k3=(23)3k^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3, pas par kk.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Volume total de l'entonnoir

    L'entonnoir est un cône de rayon R=6R = 6 cm et de hauteur h=9h = 9 cm, donc V=13×πR2×h=13×π×62×9=13×π×36×9=108πV = \dfrac{1}{3} \times \pi R^2 \times h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 9 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 9 = 108\pi cm3\text{cm}^3, soit V≈339,3V \approx 339{,}3 cm3\text{cm}^3.

  2. 2. Reconnaître une réduction

    La surface libre de l'huile est parallèle à l'ouverture : le petit cône d'huile est donc une réduction du grand cône. Comme les deux cônes partagent la même pointe, leurs hauteurs donnent le rapport k=hauteur du petit coˆnehauteur du grand coˆne=69=23.k = \dfrac{\text{hauteur du petit cône}}{\text{hauteur du grand cône}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.

  3. 3. Appliquer le cube du rapport au volume

    Un volume est multiplié par k3k^3 : k3=(23)3=827.k^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}. Donc le volume d'huile est Vhuile=108π×827=108×827π=86427π=32πV_{\text{huile}} = 108\pi \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{108 \times 8}{27}\pi = \dfrac{864}{27}\pi = 32\pi cm3\text{cm}^3.

  4. 4. Valeur approchée du volume d'huile

    On a donc Vhuile=32π≈100,5V_{\text{huile}} = 32\pi \approx 100{,}5 cm3\text{cm}^3 au dixième près. L'entonnoir a un volume de 108π≈339,3108\pi \approx 339{,}3 cm3\text{cm}^3 et il contient 32π≈100,532\pi \approx 100{,}5 cm3\text{cm}^3 d'huile.
Réponse finale
Vhuile=32π≈100,5 cm3V_{\text{huile}} = 32\pi \approx 100{,}5 \text{ cm}^3
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