Troisième · Chapitre 15

Volumes et agrandissement-réduction

Cours de Troisième sur les volumes (prisme, cylindre, pyramide, cône, boule) et l'agrandissement-réduction : effet du rapport k sur longueurs, aires et volumes. Exercices brevet.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Une bille, une canette, une pyramide, un cornet de glace : derrière chacun de ces objets se cache une formule de volume. Et quand on agrandit ou qu’on réduit un solide, ses longueurs, ses aires et ses volumes ne changent pas tous au même rythme. Ce chapitre rassemble les volumes usuels du brevet et la règle clé de l’agrandissement-réduction : longueurs $\times k$ , aires $\times k^2$ , volumes $\times k^3$ .

Volume d'un prisme droit ou d'un cylindre

Pour un prisme droit ou un cylindre, le volume est le produit de l’aire de la base par la hauteur : $V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

Pour un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ , la base est un disque d’aire $\pi R^2$ , donc : $V = \pi R^2 \times h$

Volume d'une pyramide ou d'un cône

Pour une pyramide ou un cône de révolution, le volume vaut un tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

Pour un cône de rayon $R$ et de hauteur $h$ : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi R^2 \times h$

À base et hauteur identiques, une pyramide (ou un cône) a donc un volume trois fois plus petit que le prisme (ou le cylindre) correspondant.

Volume d'une boule

Pour une boule de rayon $R$ : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi R^3$

Attention : c’est bien $R^3$ (le rayon au cube), et le résultat s’exprime en unités cubes (cm³, m³…).

Calculer un volume (et l'arrondir)

Identifier le solide et choisir la bonne formule.
Repérer les données : rayon $R$ , hauteur $h$ , aire de base… en vérifiant qu’elles sont dans la même unité.
Remplacer, puis donner la valeur exacte en fonction de $\pi$ si on la demande (par exemple $288\pi$ ).
Pour une valeur approchée, remplacer $\pi$ par sa valeur et arrondir comme demandé, sans oublier l’unité cube.

Exemple : une boule de rayon $R = 6$ cm a pour volume $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3} \times 216\pi = 288\pi \approx 904{,}8$ cm³.

Agrandissement et réduction de rapport k

Agrandir ou réduire une figure (ou un solide) de rapport $k$ ( $k > 0$ ), c’est multiplier toutes ses longueurs par $k$ :

si $k > 1$ , c’est un agrandissement (l’objet devient plus grand) ;
si $0 < k < 1$ , c’est une réduction (l’objet devient plus petit) ;
si $k = 1$ , l’objet est inchangé.

L’objet obtenu a exactement la même forme que l’original : seules ses dimensions changent.

Effet sur les longueurs, les aires et les volumes

Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport $k$ :

les longueurs (côtés, périmètres, rayons, diagonales…) sont multipliées par $k$ ;
les aires (surfaces, aires de base, aires totales…) sont multipliées par $k^2$ ;
les volumes sont multipliés par $k^3$ .

$\text{longueurs} \times k \qquad \text{aires} \times k^2 \qquad \text{volumes} \times k^3$

Utiliser le rapport k

Repérer $k$ : c’est le rapport entre une longueur de l’image et la longueur correspondante de l’original, $k = \dfrac{\text{nouvelle longueur}}{\text{ancienne longueur}}$ .
Choisir la bonne puissance de $k$ $k$ selon la grandeur cherchée :
- une longueur → multiplier par $k$ ;
- une aire → multiplier par $k^2$ ;
- un volume → multiplier par $k^3$ .
Calculer, puis garder l’unité (cm pour une longueur, cm² pour une aire, cm³ pour un volume).

Exemple : si $k = 3$ , une aire de $12$ cm² devient $12 \times 3^2 = 108$ cm², et un volume de $5$ cm³ devient $5 \times 3^3 = 135$ cm³.

Section d'un solide (notion)

Couper un solide par un plan fait apparaître une surface plane appelée section. Sa forme dépend du solide et de la façon dont le plan le traverse :

la section d’un pavé droit ou d’un cylindre par un plan parallèle à une face (ou à la base) est une figure identique à cette face (rectangle, disque…) ;
la section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base : on retrouve alors un rapport $k$ et la règle des aires $\times k^2$ et des volumes $\times k^3$ .

Les pièges à éviter

Confondre les puissances de $k$ : les longueurs sont en $\times k$ , mais les aires en $\times k^2$ et les volumes en $\times k^3$ . Ne jamais multiplier un volume seulement par $k$ .
Oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ : pour une pyramide ou un cône, le volume est un tiers de $\mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ , pas le produit complet.
Se tromper d’unité : un volume se donne en unités cubes (cm³, m³). Vérifier aussi que rayon et hauteur sont exprimés dans la même unité avant de calculer.
Mélanger valeur exacte et valeur approchée : $288\pi$ est la valeur exacte ; $\approx 904{,}8$ cm³ en est une valeur approchée. On n’écrit pas $288\pi \approx 904{,}8$ comme une égalité.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Volume d'un cône

Un cône de révolution a une base de rayon $R = 5$ cm et une hauteur $h = 9$ cm. Calculer son volume. On donnera la valeur exacte en fonction de $\pi$ , puis une valeur approchée au dixième de $\text{cm}^3$ .

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Volume d'un réservoir cylindrique

Pour refroidir le processeur de son PC gamer, Inès installe un réservoir d'eau en forme de cylindre de rayon $R = 3$ cm et de hauteur $h = 20$ cm. Calculer le volume de ce réservoir. On donnera la valeur exacte en fonction de $\pi$ , puis une valeur approchée au dixième de $\text{cm}^3$ .

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Volume d'une boule

Une boule a pour rayon $R = 6$ cm. Calculer son volume. On donnera la valeur exacte en fonction de $\pi$ , puis une valeur approchée au dixième de $\text{cm}^3$ .

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Agrandissement et aire (au carré du rapport)

Une figure a une aire de $12$ $\text{cm}^2$ . On en réalise un agrandissement de rapport $k = 3$ . Quelle est l'aire de la figure agrandie ?

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Agrandissement et volume (au cube du rapport)

Un solide a un volume de $30$ $\text{cm}^3$ . On en réalise un agrandissement de rapport $k = 2$ . Quel est le volume du solide agrandi ?

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Réduction d'un volume (porte-clés)

Une figurine de collection imprimée en 3D a un volume de $1080$ $\text{cm}^3$ . Pour en faire un porte-clés, Sofiane la réimprime en réduisant toutes ses longueurs avec un rapport $k = \dfrac{1}{3}$ . Quel est le volume du porte-clés ?

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Liquide dans un entonnoir conique

Dans un atelier, on utilise un entonnoir en forme de cône de révolution dont l'ouverture a un rayon $R = 6$ cm et dont la hauteur totale est $h = 9$ cm (la pointe est dirigée vers le bas). On verse de l'huile : elle remplit le bas de l'entonnoir et forme un petit cône de hauteur $6$ cm, dont la surface libre est parallèle à l'ouverture. Calculer d'abord le volume total de l'entonnoir, puis le volume d'huile versée. On donnera chaque résultat en valeur exacte en fonction de $\pi$ , puis une valeur approchée au dixième de $\text{cm}^3$ .

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Bonus

Volume d'un cylindre puis agrandissement

Un récipient a la forme d'un cylindre de rayon $R = 4$ cm et de hauteur $h = 10$ cm. On en fabrique un modèle agrandi dont le rayon mesure $6$ cm. Calculer le volume du cylindre initial, le rapport d'agrandissement, puis le volume du modèle agrandi (valeurs approchées au dixième de $\text{cm}^3$ ).

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Questions fréquentes

Comment calculer le volume d'une boule ?

Le volume d'une boule de rayon R est égal à quatre tiers de π fois R au cube : V = quatre tiers × π × R au cube. Par exemple, pour une boule de rayon 6 cm, on obtient V = quatre tiers × π × 6 au cube = 288π ≈ 904,8 cm cubes. On exprime toujours un volume en unités cubes (cm cubes, m cubes…).

Que deviennent les aires et les volumes lors d'un agrandissement de rapport k ?

Lors d'un agrandissement (ou d'une réduction) de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k au carré et les volumes sont multipliés par k au cube. Par exemple, si on triple toutes les longueurs (k = 3), une aire est multipliée par 9 et un volume par 27.

Quelle est la formule du volume d'un cône ou d'une pyramide ?

Le volume d'une pyramide ou d'un cône est égal à un tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur : V = un tiers × aire de base × h. C'est trois fois moins qu'un prisme ou un cylindre de même base et de même hauteur, pour lesquels V = aire de base × h.