Première STI2D
Le bénéfice maximal d'un food-truck
Énoncé
Un food-truck installé devant un lycée propose une formule burger-frites. En fonction du nombre de formules vendues dans la journée, le bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par sur l'intervalle . Étudier les variations de sur , puis déterminer le nombre de formules à vendre pour que le bénéfice soit maximal ainsi que ce bénéfice maximal.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Calculer la dérivée
On dérive le polynôme terme par terme : la dérivée de est , celle de est , et celle de la constante est . Donc . -
2. Étudier le signe de la dérivée
On résout : , donc et . Comme le coefficient de vaut , l'expression est positive avant et négative après. Donc sur et sur . -
3. Dresser les variations
D'après le signe de : est croissante sur puis décroissante sur . La dérivée passe de à en : la fonction admet donc un maximum en formules. -
4. Calculer le bénéfice maximal
On calcule . Le bénéfice est donc maximal pour formules vendues, et vaut alors €. Cette valeur est positive et cohérente avec l'intervalle d'étude : au-delà de formules, vendre davantage ferait baisser le bénéfice (coûts supplémentaires).
Réponse finale
Ta progression