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Rêves Vision
Première STI2D

Le bénéfice maximal d'un food-truck

Énoncé

Un food-truck installé devant un lycée propose une formule burger-frites. En fonction du nombre xx de formules vendues dans la journée, le bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par B(x)=−x2+30x−125B(x) = -x^2 + 30x - 125 sur l'intervalle [0 ; 30][0\,;\,30]. Étudier les variations de BB sur [0 ; 30][0\,;\,30], puis déterminer le nombre de formules à vendre pour que le bénéfice soit maximal ainsi que ce bénéfice maximal.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la dérivée

    On dérive le polynôme B(x)=−x2+30x−125B(x) = -x^2 + 30x - 125 terme par terme : la dérivée de −x2-x^2 est −2x-2x, celle de 30x30x est 3030, et celle de la constante −125-125 est 00. Donc B′(x)=−2x+30B'(x) = -2x + 30.

  2. 2. Étudier le signe de la dérivée

    On résout B′(x)=0B'(x) = 0 : −2x+30=0-2x + 30 = 0, donc 2x=302x = 30 et x=15x = 15. Comme le coefficient de xx vaut −2<0-2 < 0, l'expression B′(x)=−2x+30B'(x) = -2x + 30 est positive avant x=15x = 15 et négative après. Donc B′(x)>0B'(x) > 0 sur [0 ; 15][0\,;\,15] et B′(x)<0B'(x) < 0 sur [15 ; 30][15\,;\,30].

  3. 3. Dresser les variations

    D'après le signe de B′B' : BB est croissante sur [0 ; 15][0\,;\,15] puis décroissante sur [15 ; 30][15\,;\,30]. La dérivée passe de ++ à −- en x=15x = 15 : la fonction BB admet donc un maximum en x=15x = 15 formules.

  4. 4. Calculer le bénéfice maximal

    On calcule B(15)=−152+30×15−125=−225+450−125=100B(15) = -15^2 + 30 \times 15 - 125 = -225 + 450 - 125 = 100. Le bénéfice est donc maximal pour 1515 formules vendues, et vaut alors 100100 €. Cette valeur est positive et cohérente avec l'intervalle d'étude : au-delà de 1515 formules, vendre davantage ferait baisser le bénéfice (coûts supplémentaires).
Réponse finale
B′(x)=−2x+30=0  ⟺  x=15 formules;Bmax⁡=B(15)=100 €B'(x) = -2x + 30 = 0 \iff x = 15 \ \text{formules} \quad ; \quad B_{\max} = B(15) = 100 \ \text{€}
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