Première STI2D · Chapitre 5

Dérivation

Cours de Première STI2D sur la dérivation : nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles, signe de la dérivée et variations, extremums. Avec exercices technologiques corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Fonctions de référence

En STI2D, tu cherches souvent à savoir à quelle vitesse une grandeur évolue : la vitesse d’un mobile à partir de sa position, la variation d’une température, l’intensité qui traverse un composant, ou encore à régler un système au mieux (maximiser une puissance, minimiser une quantité de matière). La dérivation est l’outil mathématique qui répond à ces deux questions : elle mesure une variation instantanée et permet d’étudier les variations d’une fonction pour en trouver les valeurs extrêmes.

Mes objectifs sur ce chapitre

À la fin de ce chapitre, je sais :

interpréter le nombre dérivé $f'(a)$ comme pente de la tangente et comme vitesse de variation ;
écrire l’équation de la tangente à une courbe en un point ;
calculer la fonction dérivée des fonctions usuelles et des polynômes ;
déduire les variations d’une fonction du signe de sa dérivée ;
déterminer les extremums (maximum, minimum) d’une fonction.

À quoi ça sert, concrètement ?

Imagine un mobile dont tu connais la position $f(t)$ à chaque instant $t$ . Entre deux dates, tu peux calculer une vitesse moyenne. Mais quelle est sa vitesse exactement à l’instant $t = 3$ s, affichée sur le compteur ? C’est le nombre dérivé $f'(3)$ .

Même idée partout en technologie : la dérivée du débit, c’est une accélération de remplissage ; la dérivée d’une charge électrique, c’est une intensité. Et quand tu veux dimensionner une pièce (la tôle d’un réservoir, la section d’un capteur) avec le moins de matière possible, tu cherches le minimum d’une fonction : tu étudies le signe de sa dérivée. La dérivation, c’est l’outil de l’optimisation.

1. Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre de $I$ . Lorsqu’il existe, le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ .

On peut l’interpréter comme la vitesse de variation instantanée de $f$ au point $a$ : il indique à quelle vitesse $f(x)$ augmente ou diminue au voisinage de $a$ .

Tangente à une courbe

La tangente à la courbe de $f$ au point $A\big(a\,;\,f(a)\big)$ est la droite qui « épouse » la courbe en ce point. Sa pente est le nombre dérivé $f'(a)$ .

Si $f'(a) > 0$ , la tangente monte : la fonction croît en $a$ .
Si $f'(a) < 0$ , la tangente descend : la fonction décroît en $a$ .
Si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale.

Équation de la tangente

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation :

$y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$

Pour l’écrire, il suffit de calculer deux nombres : la valeur $f(a)$ (l’ordonnée du point de contact) et le nombre dérivé $f'(a)$ (la pente).

Écrire l'équation d'une tangente

Calculer $f(a)$ : c’est l’ordonnée du point de contact.
Déterminer la fonction dérivée $f'$ , puis calculer $f'(a)$ : c’est la pente.
Remplacer dans la formule $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$ .
Développer et réduire pour obtenir une équation de la forme $y = m x + p$ .

Exemple : pour $f(x) = x^2$ en $a = 2$ , on a $f(2) = 4$ et $f'(x) = 2x$ donc $f'(2) = 4$ . La tangente est $y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4$ .

2. Fonction dérivée

Fonction dérivée

Lorsque $f$ admet un nombre dérivé en tout point d’un intervalle $I$ , on dit que $f$ est dérivable sur $I$ . La fonction qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ s’appelle la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ .

Dérivées des fonctions usuelles

Sur l’intervalle où chaque fonction est définie et dérivable :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ ( $n$ entier)	$n\,x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Opérations sur les dérivées

Si $u$ et $v$ sont dérivables et $k$ est un réel :

$(k\,u)' = k\,u' \qquad (u + v)' = u' + v'$

Ces deux règles suffisent pour dériver tous les polynômes : on dérive terme par terme, et chaque coefficient reste devant.

Dériver un polynôme

Soit $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ .

On dérive terme par terme :

$f'(x) = 4 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 2 \times 1 - 0 = 12x^2 - 10x + 2.$

Le terme constant $-7$ a une dérivée nulle : il disparaît.

Le réflexe pour les polynômes

Pour dériver $a\,x^n$ , on descend l’exposant devant et on diminue l’exposant de 1 :

$\big(a\,x^n\big)' = a \times n \times x^{n-1}.$

Ainsi $\big(3x^4\big)' = 12x^3$ et $\big(x\big)' = 1\times x^0 = 1$ .

Le piège de la dérivée d'une constante (et des coefficients)

FAUX : « la dérivée de $5x^2$ est $5x$ » et « la dérivée de $7$ est $7$ ».

VRAI : pour $5x^2$ , on descend l’exposant : sa dérivée est $5 \times 2x = 10x$ . Et la dérivée d’une constante est nulle : la dérivée de $7$ est $0$ .

Une constante représente une grandeur qui ne varie pas : sa vitesse de variation est donc $0$ . Ne confonds pas le coefficient (qui reste) et l’exposant (qui descend).

3. Dérivée et variations

Signe de la dérivée et sens de variation

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Étudier le signe de la dérivée, c’est donc déterminer les variations de la fonction.

Étudier les variations d'une fonction

Calculer la dérivée $f'(x)$ .
Résoudre $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'(x)$ (souvent un signe de trinôme ou un signe affine).
Dresser le tableau de variations : flèche montante là où $f' > 0$ , descendante là où $f' < 0$ .
Reporter les valeurs $f(x)$ aux bornes et aux points où $f'$ s’annule.

Extremum : maximum et minimum

Un extremum est une valeur où la fonction « se retourne » :

un maximum lorsque $f$ cesse de croître pour décroître ;
un minimum lorsque $f$ cesse de décroître pour croître.

En un tel point, la tangente est horizontale, donc le nombre dérivé est nul.

Repérer un extremum avec la dérivée

Si la dérivée $f'$ s’annule en changeant de signe en $x = a$ , alors $f$ admet un extremum en $a$ :

si $f'$ passe de $+$ à $-$ : $f(a)$ est un maximum ;
si $f'$ passe de $-$ à $+$ : $f(a)$ est un minimum.

Trouver un maximum (cas technologique)

La puissance dissipée dans une charge, en fonction de l’intensité $x$ (en A), est modélisée par $P(x) = 24x - 4x^2$ (en W) pour $x \in [0\,;\,6]$ .

On dérive : $P'(x) = 24 - 8x$ .

On résout $P'(x) = 0$ : $24 - 8x = 0$ , donc $x = 3$ A.

Pour $x < 3$ , $P'(x) > 0$ (croissante) ; pour $x > 3$ , $P'(x) < 0$ (décroissante) : $P'$ passe de $+$ à $-$ , donc $P$ admet un maximum en $x = 3$ .

Ce maximum vaut $P(3) = 24 \times 3 - 4 \times 3^2 = 72 - 36 = 36$ W.

Le piège de l'extremum sans changement de signe

FAUX : « la dérivée s’annule en $a$ , donc il y a forcément un extremum en $a$ ».

VRAI : il faut que la dérivée change de signe en $a$ . Par exemple $f(x) = x^3$ a pour dérivée $f'(x) = 3x^2$ , qui s’annule en $0$ mais reste positive de part et d’autre : $f$ est croissante partout, il n’y a aucun extremum en $0$ .

Avant de conclure « maximum » ou « minimum », vérifie toujours le signe de chaque côté.

Toujours vérifier l'ordre de grandeur

Quand tu trouves un extremum dans un problème concret (puissance maximale, coût minimal, surface minimale), vérifie que la valeur a un sens physique : une puissance positive, une longueur positive, un résultat cohérent avec l’énoncé. Une intensité négative ou une surface gigantesque doit te mettre la puce à l’oreille.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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La tangente à la courbe des abonnés

Après une vidéo virale, un créateur suit le nombre d'abonnés gagnés sur son compte TikTok. Ce nombre, en milliers d'abonnés, à l'instant $t$ (en jours après la publication) est modélisé par $f(t) = -2t^2 + 40t$ sur l'intervalle $[0\,;\,20]$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $t = 5$ .

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La tangente à une courbe de température

Un capteur relève la température d'un four pendant sa montée en régime. La température, en degrés Celsius, à l'instant $t$ (en minutes) est modélisée par $f(t) = -t^2 + 6t + 5$ sur l'intervalle $[0\,;\,5]$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $t = 1$ .

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La vitesse instantanée d'un chariot

Sur une chaîne de production, un chariot se déplace en ligne droite. Sa position, en mètres, à l'instant $t$ (en secondes) est donnée par $f(t) = t^2 + 2t$ pour $t \geq 0$ . La vitesse instantanée du chariot à l'instant $t$ est le nombre dérivé $f'(t)$ . Calculer la vitesse instantanée du chariot à l'instant $t = 3$ s.

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La puissance maximale d'un panneau solaire

Un petit panneau solaire alimente une charge. La puissance électrique transmise à la charge, en watts, en fonction de l'intensité $x$ du courant (en ampères) est modélisée par $P(x) = 24x - 4x^2$ sur l'intervalle $[0\,;\,6]$ . Étudier les variations de $P$ sur $[0\,;\,6]$ , puis déterminer l'intensité pour laquelle la puissance transmise est maximale et la valeur de cette puissance maximale.

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Le bénéfice maximal d'un food-truck

Un food-truck installé devant un lycée propose une formule burger-frites. En fonction du nombre $x$ de formules vendues dans la journée, le bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par $B(x) = -x^2 + 30x - 125$ sur l'intervalle $[0\,;\,30]$ . Étudier les variations de $B$ sur $[0\,;\,30]$ , puis déterminer le nombre de formules à vendre pour que le bénéfice soit maximal ainsi que ce bénéfice maximal.

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Le coût moyen minimal d'une production

Un atelier fabrique des cartes électroniques. Le coût total de production de $q$ cartes (avec $q > 0$ ), en euros, est $C(q) = q^2 + 100$ . Le coût moyen par carte est $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ . Déterminer le nombre de cartes à produire pour que le coût moyen par carte soit minimal, puis calculer ce coût moyen minimal.

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La gouttière qui évacue le plus d'eau

Dans un atelier de tôlerie, on fabrique une gouttière en pliant à angle droit une bande de tôle de $30$ cm de large. On replie deux bandes latérales de même hauteur $x$ (en cm) vers le haut ; le reste de la tôle forme le fond plat. La gouttière obtenue a alors une section transversale rectangulaire, ouverte en haut, de hauteur $x$ et de largeur $30 - 2x$ . Pour évacuer le plus d'eau possible, on cherche à rendre l'aire de cette section maximale. Déterminer la hauteur de pliage $x$ qui maximise l'aire de la section, puis calculer cette aire maximale et la largeur du fond correspondante.

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Bonus

Le réservoir cylindrique avec le moins de tôle

Un bureau d'études doit dimensionner un réservoir cylindrique fermé (avec un couvercle et un fond) de volume $V = 1000$ cm $^3$ , soit $1$ litre. On veut utiliser le moins de tôle possible, c'est-à-dire minimiser la surface totale du cylindre. On note $r$ le rayon de la base (en cm) et $h$ la hauteur (en cm). On rappelle que le volume est $V = \pi r^2 h$ et que la surface totale (deux disques plus la surface latérale) est $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ . Déterminer le rayon $r$ qui minimise la surface de tôle, la hauteur $h$ correspondante, puis la surface minimale. On arrondira les résultats au dixième.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le nombre dérivé d'une fonction en un point ?

Le nombre dérivé d'une fonction f en a, noté f prime de a, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Concrètement, c'est la vitesse de variation instantanée de la fonction en ce point : par exemple la vitesse exacte d'un mobile à un instant donné, à partir de sa position.

Comment trouver l'équation de la tangente à une courbe en un point ?

La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y égale f prime de a multiplié par x moins a, le tout plus f de a. Il suffit donc de calculer deux nombres : la valeur f de a et le nombre dérivé f prime de a, qui donne la pente de la tangente.

Quel est le lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction ?

Sur un intervalle, si la dérivée est positive alors la fonction est croissante, et si la dérivée est négative alors la fonction est décroissante. Là où la dérivée s'annule en changeant de signe, la fonction présente un extremum : un maximum si la dérivée passe du positif au négatif, un minimum si elle passe du négatif au positif.