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Rêves Vision
Première STI2D

La tangente à la courbe des abonnés

Énoncé

Après une vidéo virale, un créateur suit le nombre d'abonnés gagnés sur son compte TikTok. Ce nombre, en milliers d'abonnés, à l'instant tt (en jours après la publication) est modélisé par f(t)=−2t2+40tf(t) = -2t^2 + 40t sur l'intervalle [0 ; 20][0\,;\,20]. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de ff au point d'abscisse t=5t = 5.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer l'ordonnée du point de contact

    On calcule d'abord f(5)f(5) : f(5)=−2×52+40×5=−2×25+200=−50+200=150f(5) = -2 \times 5^2 + 40 \times 5 = -2 \times 25 + 200 = -50 + 200 = 150. Le point de contact a donc pour coordonnées (5 ; 150)\big(5\,;\,150\big) : au 5e jour, le créateur a gagné 150150 milliers d'abonnés.

  2. 2. Calculer la pente (nombre dérivé)

    On dérive le polynôme terme par terme : la dérivée de −2t2-2t^2 est −2×2t=−4t-2 \times 2t = -4t, et la dérivée de 40t40t est 4040. Donc f′(t)=−4t+40f'(t) = -4t + 40. La pente de la tangente est le nombre dérivé f′(5)=−4×5+40=−20+40=20f'(5) = -4 \times 5 + 40 = -20 + 40 = 20.

  3. 3. Écrire l'équation de la tangente

    On applique la formule y=f′(a) (t−a)+f(a)y = f'(a)\,(t - a) + f(a) avec a=5a = 5, f′(5)=20f'(5) = 20 et f(5)=150f(5) = 150 : y=20 (t−5)+150y = 20\,(t - 5) + 150.

  4. 4. Développer et réduire

    On développe : y=20t−100+150y = 20t - 100 + 150, donc y=20t+50y = 20t + 50. La pente 2020 étant positive, la courbe monte encore au 5e jour : au voisinage de t=5t = 5, le créateur gagne environ 2020 milliers d'abonnés par jour.
Réponse finale
y=20 (t−5)+150=20t+50y = 20\,(t - 5) + 150 = 20t + 50
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