Première STI2D
Le coût moyen minimal d'une production
Énoncé
Un atelier fabrique des cartes électroniques. Le coût total de production de cartes (avec ), en euros, est . Le coût moyen par carte est . Déterminer le nombre de cartes à produire pour que le coût moyen par carte soit minimal, puis calculer ce coût moyen minimal.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Commence par écrire le coût moyen sous la forme d'une somme de deux termes plus faciles à dériver.
- En séparant la fraction, . Souviens-toi que la dérivée de est .
- Une fois obtenue, résous : tu obtiens une équation de la forme . N'oublie pas que représente un nombre de cartes, donc .
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Exprimer le coût moyen
Le coût moyen est . On sépare la fraction terme par terme : . Cette écriture est plus simple à dériver. -
2. Calculer la dérivée
On dérive : la dérivée de est , et la dérivée de est . Donc . -
3. Résoudre l'équation de la dérivée nulle
On cherche où la dérivée s'annule : , donc , d'où . Comme (un nombre de cartes), on obtient . -
4. Étudier le signe et conclure à un minimum
Pour , on a donc et : le coût moyen décroît. Pour , on a : le coût moyen croît. La dérivée passe de à en : il s'agit donc d'un minimum. -
5. Calculer le coût moyen minimal
On calcule . Le coût moyen minimal est donc de € par carte, atteint pour une production de cartes.
Réponse finale
Ta progression