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Le réservoir cylindrique avec le moins de tôle

Énoncé

Un bureau d'études doit dimensionner un réservoir cylindrique fermé (avec un couvercle et un fond) de volume V=1000V = 1000 cm3^3, soit 11 litre. On veut utiliser le moins de tôle possible, c'est-à-dire minimiser la surface totale du cylindre. On note rr le rayon de la base (en cm) et hh la hauteur (en cm). On rappelle que le volume est V=πr2hV = \pi r^2 h et que la surface totale (deux disques plus la surface latérale) est S=2πr2+2πrhS = 2\pi r^2 + 2\pi r h. Déterminer le rayon rr qui minimise la surface de tôle, la hauteur hh correspondante, puis la surface minimale. On arrondira les résultats au dixième.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La surface SS dépend de deux variables rr et hh, mais le volume est imposé : utilise la relation V=πr2hV = \pi r^2 h pour exprimer hh en fonction de rr, puis remplace dans SS.
  2. Après substitution, tu obtiens S(r)=2πr2+2VrS(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}, une fonction d'une seule variable rr. Dérive-la : rappelle-toi que la dérivée de 1r\dfrac{1}{r} est −1r2-\dfrac{1}{r^2}.
  3. Résous S′(r)=0S'(r) = 0. Tu arrives à 4πr3=2V4\pi r^3 = 2V, donc r3=V2πr^3 = \dfrac{V}{2\pi}. Isole rr en prenant la racine cubique, puis reviens à hh avec h=Vπr2h = \dfrac{V}{\pi r^2}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Exprimer la hauteur en fonction du rayon

    Le volume est imposé : V=πr2h=1000V = \pi r^2 h = 1000. On en déduit la hauteur en fonction du rayon : h=Vπr2=1000πr2h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{1000}{\pi r^2}. Ainsi, le réservoir ne dépend plus que de rr.

  2. 2. Exprimer la surface en fonction du seul rayon

    On remplace hh dans la surface S=2πr2+2πrhS = 2\pi r^2 + 2\pi r h : S(r)=2πr2+2πr×Vπr2S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \times \dfrac{V}{\pi r^2}. En simplifiant le second terme, 2πr×Vπr2=2Vr2\pi r \times \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{2V}{r}. Donc S(r)=2πr2+2VrS(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}, soit ici S(r)=2πr2+2000rS(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r} pour r>0r > 0.

  3. 3. Calculer la dérivée

    On dérive : la dérivée de 2πr22\pi r^2 est 2π×2r=4πr2\pi \times 2r = 4\pi r, et la dérivée de 2000r=2000×1r\dfrac{2000}{r} = 2000 \times \dfrac{1}{r} est 2000×(−1r2)=−2000r22000 \times \left(-\dfrac{1}{r^2}\right) = -\dfrac{2000}{r^2}. Donc S′(r)=4πr−2000r2S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2000}{r^2}.

  4. 4. Résoudre l'équation de la dérivée nulle

    On résout S′(r)=0S'(r) = 0 : 4πr−2000r2=04\pi r - \dfrac{2000}{r^2} = 0, donc 4πr=2000r24\pi r = \dfrac{2000}{r^2}. En multipliant les deux membres par r2r^2 : 4πr3=20004\pi r^3 = 2000, d'où r3=20004π=500π≈159,2r^3 = \dfrac{2000}{4\pi} = \dfrac{500}{\pi} \approx 159{,}2. En prenant la racine cubique : r=500π3≈5,4r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}} \approx 5{,}4 cm.

  5. 5. Vérifier qu'il s'agit d'un minimum

    On écrit S′(r)=4πr3−2000r2S'(r) = \dfrac{4\pi r^3 - 2000}{r^2}. Comme r2>0r^2 > 0, le signe de S′(r)S'(r) est celui de 4πr3−20004\pi r^3 - 2000. Pour r<5,4r < 5{,}4, ce numérateur est négatif donc S′(r)<0S'(r) < 0 (surface décroissante) ; pour r>5,4r > 5{,}4, il est positif donc S′(r)>0S'(r) > 0 (surface croissante). La dérivée passe de −- à ++ : la surface admet bien un minimum en r≈5,4r \approx 5{,}4 cm.

  6. 6. Calculer la hauteur correspondante

    On reporte r≈5,4r \approx 5{,}4 cm dans h=1000πr2h = \dfrac{1000}{\pi r^2} : h=1000π×5,422≈1000π×29,4≈100092,3≈10,8h = \dfrac{1000}{\pi \times 5{,}42^2} \approx \dfrac{1000}{\pi \times 29{,}4} \approx \dfrac{1000}{92{,}3} \approx 10{,}8 cm. On remarque que h≈2rh \approx 2r : pour un cylindre fermé de volume donné, la tôle est minimale quand la hauteur égale le diamètre.

  7. 7. Calculer la surface minimale

    On calcule S(5,42)=2π×5,422+20005,42≈2π×29,4+369,0≈184,6+369,0≈553,6S(5{,}42) = 2\pi \times 5{,}42^2 + \dfrac{2000}{5{,}42} \approx 2\pi \times 29{,}4 + 369{,}0 \approx 184{,}6 + 369{,}0 \approx 553{,}6 cm2^2. La surface de tôle minimale est donc d'environ 553,6553{,}6 cm2^2, pour un rayon de 5,45{,}4 cm et une hauteur de 10,810{,}8 cm.
Réponse finale
r=500π3≈5,4 cm;h=1000πr2≈10,8 cm;Smin⁡≈553,6 cm2r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}} \approx 5{,}4 \ \text{cm} \quad ; \quad h = \dfrac{1000}{\pi r^2} \approx 10{,}8 \ \text{cm} \quad ; \quad S_{\min} \approx 553{,}6 \ \text{cm}^2
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