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Rêves Vision
Première STI2D

La puissance maximale d'un panneau solaire

Énoncé

Un petit panneau solaire alimente une charge. La puissance électrique transmise à la charge, en watts, en fonction de l'intensité xx du courant (en ampères) est modélisée par P(x)=24x−4x2P(x) = 24x - 4x^2 sur l'intervalle [0 ; 6][0\,;\,6]. Étudier les variations de PP sur [0 ; 6][0\,;\,6], puis déterminer l'intensité pour laquelle la puissance transmise est maximale et la valeur de cette puissance maximale.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La puissance maximale correspond à un point où la tangente est horizontale : commence par calculer la dérivée P′(x)P'(x).
  2. P(x)=24x−4x2P(x) = 24x - 4x^2 est un polynôme : dérive-le terme par terme pour obtenir une expression affine P′(x)P'(x).
  3. Résous P′(x)=0P'(x) = 0 pour trouver l'intensité, puis étudie le signe de P′(x)P'(x) de part et d'autre pour vérifier qu'il s'agit bien d'un maximum (la dérivée doit passer de ++ à −-).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la dérivée

    On dérive le polynôme P(x)=24x−4x2P(x) = 24x - 4x^2 terme par terme : la dérivée de 24x24x est 2424, et la dérivée de −4x2-4x^2 est −4×2x=−8x-4 \times 2x = -8x. Donc P′(x)=24−8xP'(x) = 24 - 8x.

  2. 2. Étudier le signe de la dérivée

    On résout P′(x)=0P'(x) = 0 : 24−8x=024 - 8x = 0, donc 8x=248x = 24 et x=3x = 3. Comme −8<0-8 < 0, l'expression P′(x)=24−8xP'(x) = 24 - 8x est positive avant x=3x = 3 et négative après. Donc P′(x)>0P'(x) > 0 sur [0 ; 3][0\,;\,3] et P′(x)<0P'(x) < 0 sur [3 ; 6][3\,;\,6].

  3. 3. Dresser les variations

    D'après le signe de P′P' : PP est croissante sur [0 ; 3][0\,;\,3] puis décroissante sur [3 ; 6][3\,;\,6]. La dérivée passe de ++ à −- en x=3x = 3 : la fonction PP admet donc un maximum en x=3x = 3 A.

  4. 4. Calculer la puissance maximale

    On calcule P(3)=24×3−4×32=72−4×9=72−36=36P(3) = 24 \times 3 - 4 \times 3^2 = 72 - 4 \times 9 = 72 - 36 = 36. La puissance transmise est maximale pour une intensité de 33 A, et vaut alors 3636 W. Cette valeur est positive et cohérente avec l'intervalle d'étude.
Réponse finale
P′(x)=24−8x=0  ⟺  x=3 A;Pmax⁡=P(3)=36 WP'(x) = 24 - 8x = 0 \iff x = 3 \ \text{A} \quad ; \quad P_{\max} = P(3) = 36 \ \text{W}
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