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Rêves Vision
Première STI2D

La gouttière qui évacue le plus d'eau

Énoncé

Dans un atelier de tôlerie, on fabrique une gouttière en pliant à angle droit une bande de tôle de 3030 cm de large. On replie deux bandes latérales de même hauteur xx (en cm) vers le haut ; le reste de la tôle forme le fond plat. La gouttière obtenue a alors une section transversale rectangulaire, ouverte en haut, de hauteur xx et de largeur 30−2x30 - 2x. Pour évacuer le plus d'eau possible, on cherche à rendre l'aire de cette section maximale. Déterminer la hauteur de pliage xx qui maximise l'aire de la section, puis calculer cette aire maximale et la largeur du fond correspondante.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par exprimer l'aire de la section en fonction de xx : c'est l'aire d'un rectangle de hauteur xx et de largeur 30−2x30 - 2x.
  2. Tu obtiens A(x)=x (30−2x)A(x) = x\,(30 - 2x). Développe ce produit pour faire apparaître un polynôme du second degré, plus facile à dériver terme par terme.
  3. Une fois A′(x)A'(x) calculée, résous A′(x)=0A'(x) = 0 pour trouver la hauteur xx, puis étudie le signe de A′(x)A'(x) de part et d'autre pour vérifier qu'il s'agit bien d'un maximum (la dérivée doit passer de ++ à −-). N'oublie pas que xx est une longueur, donc x>0x > 0, et que la largeur 30−2x30 - 2x doit rester positive.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Exprimer l'aire de la section en fonction de x

    La section est un rectangle de hauteur xx et de largeur 30−2x30 - 2x. Son aire est donc A(x)=x×(30−2x)A(x) = x \times (30 - 2x). Pour que la largeur du fond soit positive, il faut 30−2x>030 - 2x > 0, c'est-à-dire x<15x < 15 ; on étudie donc AA sur l'intervalle [0 ; 15][0\,;\,15].

  2. 2. Développer pour obtenir un polynôme

    On développe le produit : A(x)=x×30−x×2x=30x−2x2A(x) = x \times 30 - x \times 2x = 30x - 2x^2. La fonction AA est donc un polynôme du second degré, que l'on sait dériver terme par terme.

  3. 3. Calculer la dérivée

    On dérive A(x)=30x−2x2A(x) = 30x - 2x^2 terme par terme : la dérivée de 30x30x est 3030, et la dérivée de −2x2-2x^2 est −2×2x=−4x-2 \times 2x = -4x. Donc A′(x)=30−4xA'(x) = 30 - 4x.

  4. 4. Résoudre l'équation de la dérivée nulle

    On résout A′(x)=0A'(x) = 0 : 30−4x=030 - 4x = 0, donc 4x=304x = 30 et x=304=7,5x = \dfrac{30}{4} = 7{,}5. Cette valeur appartient bien à l'intervalle [0 ; 15][0\,;\,15].

  5. 5. Étudier le signe et conclure à un maximum

    Comme le coefficient de xx vaut −4<0-4 < 0, l'expression A′(x)=30−4xA'(x) = 30 - 4x est positive avant x=7,5x = 7{,}5 et négative après : A′(x)>0A'(x) > 0 sur [0 ; 7,5][0\,;\,7{,}5] et A′(x)<0A'(x) < 0 sur [7,5 ; 15][7{,}5\,;\,15]. La dérivée passe de ++ à −- en x=7,5x = 7{,}5 : l'aire de la section admet donc un maximum en x=7,5x = 7{,}5 cm.

  6. 6. Calculer l'aire maximale et la largeur du fond

    Pour x=7,5x = 7{,}5 cm, la largeur du fond est 30−2×7,5=30−15=1530 - 2 \times 7{,}5 = 30 - 15 = 15 cm. L'aire maximale vaut A(7,5)=30×7,5−2×7,52=225−2×56,25=225−112,5=112,5A(7{,}5) = 30 \times 7{,}5 - 2 \times 7{,}5^2 = 225 - 2 \times 56{,}25 = 225 - 112{,}5 = 112{,}5 cm2^2. La section est donc maximale pour une hauteur de pliage de 7,57{,}5 cm, avec un fond de 1515 cm de large et une aire de 112,5112{,}5 cm2^2.
Réponse finale
A′(x)=30−4x=0  ⟺  x=7,5 cm;Amax⁡=A(7,5)=112,5 cm2A'(x) = 30 - 4x = 0 \iff x = 7{,}5 \ \text{cm} \quad ; \quad A_{\max} = A(7{,}5) = 112{,}5 \ \text{cm}^2
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