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Rêves Vision
Première STI2D

Parité du cosinus et du sinus

Énoncé

Dans un logiciel de traitement du signal, on étudie le comportement des fonctions cos⁡\cos et sin⁡\sin quand on remplace xx par −x-x (un retour en arrière dans le temps). On rappelle que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. 1) Donner, sans calculatrice, la valeur de cos⁡(−π3)\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right). 2) Donner, sans calculatrice, la valeur de sin⁡(−π6)\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right). 3) Préciser, pour chaque courbe (cos⁡\cos et sin⁡\sin), l'axe ou le point de symétrie correspondant.

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  1. 1. Calculer le cosinus en utilisant la parité

    La fonction cosinus est paire, c'est-à-dire que cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x) pour tout réel xx. Donc cos⁡(−π3)=cos⁡(π3)\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Or cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} (valeur remarquable), donc cos⁡(−π3)=12\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}.

  2. 2. Calculer le sinus en utilisant la parité

    La fonction sinus est impaire, c'est-à-dire que sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x) pour tout réel xx. Donc sin⁡(−π6)=−sin⁡(π6)\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right). Or sin⁡(π6)=12\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} (valeur remarquable), donc sin⁡(−π6)=−12\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}.

  3. 3. Préciser les symétries des deux courbes

    Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère. Comme cos⁡\cos est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; comme sin⁡\sin est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. On obtient cos⁡(−π3)=12\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} et sin⁡(−π6)=−12\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} ; la courbe du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, celle du sinus par rapport à l'origine.
Réponse finale
cos⁡(−π3)=cos⁡(π3)=12;sin⁡(−π6)=−sin⁡(π6)=−12\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} \quad ; \quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}
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