Première STI2D · Chapitre 7

Fonctions circulaires

Cours de Première STI2D sur les fonctions cosinus et sinus : périodicité, parité, courbes et modèle sinusoïdal d'un signal (amplitude, pulsation, phase). Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Une tension électrique du secteur, le signal d’un capteur, l’onde d’un son ou l’oscillation d’un pendule : tous se répètent à l’identique au fil du temps. Pour les décrire en mathématiques, on utilise les fonctions circulaires $\cos$ et $\sin$ . Ce chapitre te montre comment lire leurs courbes, exploiter leur périodicité et leur parité, et surtout comment un modèle sinusoïdal ( $\text{amplitude}$ , $\text{pulsation}$ , $\text{phase}$ ) permet de mettre une équation sur un vrai signal industriel.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais reconnaître une courbe de cosinus et une courbe de sinus.
Je sais utiliser la périodicité ( $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ ) et la parité ( $\cos$ paire, $\sin$ impaire).
Je sais lire l’amplitude et la période d’un signal sinusoïdal sur un graphe.
Je sais relier période, fréquence et pulsation : $f = \dfrac{1}{T}$ et $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ .
Je sais écrire le modèle $u(t) = U_{\max}\,\cos(\omega t + \varphi)$ d’une grandeur qui oscille et prévoir sa valeur à un instant donné.

À quoi ça sert en STI2D ?

Branche un oscilloscope sur une prise : tu vois une courbe qui monte et descend, encore et encore. Cette « vague » régulière, c’est une sinusoïde. La tension du secteur en France est une fonction sinusoïdale de fréquence $50$ Hz.

Dès que tu étudieras un signal (audio, capteur), une tension alternative, la charge d’un condensateur ou la vibration d’une pièce, tu retrouveras le sinus et le cosinus. Savoir lire amplitude, période et pulsation, c’est savoir dimensionner un composant ou comparer deux signaux. Bref, c’est l’outil de base de l’électronique et du traitement du signal.

1. Les fonctions cosinus et sinus

Cosinus et sinus d'un nombre réel

À chaque nombre réel $x$ (vu comme une mesure d’angle en radians) on associe deux nombres :

son cosinus, noté $\cos(x)$ ;
son sinus, noté $\sin(x)$ .

Ces deux nombres sont toujours compris entre $-1$ et $1$ : $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1 \qquad \text{et} \qquad -1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1.$

On définit ainsi deux fonctions, la fonction cosinus $x \mapsto \cos(x)$ et la fonction sinus $x \mapsto \sin(x)$ , définies pour tout réel $x$ .

Quelques valeurs à connaître

Ces valeurs reviennent sans cesse ; elles servent à construire les courbes.

$x$ (rad)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\cos(x)$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\sin(x)$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$

Ordre de grandeur utile : $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ .

2. Périodicité

Une fonction périodique

Une fonction $f$ est périodique de période $T$ (avec $T > 0$ ) lorsque, pour tout réel $x$ : $f(x + T) = f(x).$

Autrement dit, la courbe se répète à l’identique tous les $T$ . La plus petite valeur de $T$ qui convient s’appelle la période de la fonction.

Période des fonctions cosinus et sinus

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$ : pour tout réel $x$ , $\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin(x).$

Sur un graphe, il suffit donc de connaître un seul motif (sur un intervalle de longueur $2\pi$ ) pour reconstituer toute la courbe en le recopiant à gauche et à droite.

3. Parité

Fonction paire, fonction impaire

On regarde ce qui se passe quand on remplace $x$ par $-x$ :

$f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (l’axe vertical).
$f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Parité de cosinus et de sinus

$\cos(-x) = \cos(x) \qquad : \text{la fonction cosinus est } \textbf{paire}.$ $\sin(-x) = -\sin(x) \qquad : \text{la fonction sinus est } \textbf{impaire}.$

Concrètement : la courbe du cosinus se reflète dans un miroir vertical placé sur l’axe des ordonnées ; celle du sinus se retrouve par un demi-tour autour de l’origine.

Ne pas confondre paire et impaire

FAUX : « Le sinus est pair, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical. »

VRAI : le sinus est impair : $\sin(-x) = -\sin(x)$ . Vérifie sur une valeur : $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$ , alors que $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ . On obtient bien l’opposé, pas la même valeur : la symétrie est donc par rapport à l’origine, pas par rapport à l’axe des ordonnées. C’est le cosinus qui est pair (et là, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ ).

4. Les courbes de référence

Allure des courbes de cosinus et de sinus

Sur un intervalle de longueur $2\pi$ , retiens les points clés.

Courbe du cosinus ( $x \mapsto \cos(x)$ ) :

part de son maximum $\cos(0) = 1$ ;
redescend, s’annule en $\dfrac{\pi}{2}$ , atteint son minimum $-1$ en $\pi$ ;
remonte, s’annule en $\dfrac{3\pi}{2}$ , revient à $1$ en $2\pi$ .

Courbe du sinus ( $x \mapsto \sin(x)$ ) :

part de $\sin(0) = 0$ ;
monte jusqu’à son maximum $1$ en $\dfrac{\pi}{2}$ ;
redescend, s’annule en $\pi$ , atteint son minimum $-1$ en $\dfrac{3\pi}{2}$ , revient à $0$ en $2\pi$ .

Les deux courbes ont la même forme de vague : la courbe du sinus est simplement la courbe du cosinus décalée vers la droite de $\dfrac{\pi}{2}$ .

5. Le modèle sinusoïdal d’un signal

C’est le cœur du chapitre pour la STI2D : modéliser une grandeur physique qui oscille (une tension, une position, un signal de capteur) par une fonction du temps $t$ .

Forme générale d'un signal sinusoïdal

Une grandeur sinusoïdale qui dépend du temps $t$ (en secondes) s’écrit, par exemple pour une tension $u$ : $u(t) = U_{\max}\,\cos(\omega t + \varphi).$

$U_{\max} > 0$ est l’amplitude : la valeur maximale atteinte par le signal (ici en volts). Le signal varie entre $-U_{\max}$ et $+U_{\max}$ .
$\omega$ (lettre grecque « oméga ») est la pulsation, en radians par seconde (rad·s^-1). Elle dit à quelle vitesse le signal oscille.
$\varphi$ (lettre grecque « phi ») est la phase à l’origine, en radians : elle indique le décalage de la courbe par rapport à l’instant $t = 0$ .

Période, fréquence et pulsation

Ces trois grandeurs décrivent la même chose - la rapidité de l’oscillation - sous trois angles.

La période $T$ (en secondes) est la durée d’un motif complet.
La fréquence $f$ (en hertz, Hz) est le nombre de motifs par seconde : $f = \frac{1}{T} \qquad \text{et réciproquement} \qquad T = \frac{1}{f}.$
La pulsation $\omega$ (en rad·s^-1) est reliée à la période et à la fréquence par : $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f.$

Lire un modèle sur une tension du secteur

La tension du secteur en France a pour amplitude $U_{\max} = 325$ V et pour fréquence $f = 50$ Hz.

Période : $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0{,}02$ s, soit $20$ ms.
Pulsation : $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ rad·s^-1.

Un modèle possible (en prenant la phase nulle) est donc : $u(t) = 325\,\cos(100\pi\, t).$ Le signal monte jusqu’à $325$ V, descend jusqu’à $-325$ V, et fait un aller-retour complet toutes les $0{,}02$ seconde.

Lire amplitude et période d'un signal sur un graphe

On dispose de la courbe d’un signal (par exemple à l’écran d’un oscilloscope).

Amplitude : repérer la valeur maximale atteinte par la courbe (sommet d’une « bosse »). C’est $U_{\max}$ . On peut aussi mesurer l’écart total entre le plus haut et le plus bas, qui vaut $2\,U_{\max}$ , puis diviser par $2$ .
Période : repérer un motif qui se répète et mesurer la durée d’un motif complet $T$ (par exemple d’un sommet au sommet suivant).
Fréquence : en déduire $f = \dfrac{1}{T}$ .
Pulsation (si demandée) : calculer $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ .

Le bon réflexe pour la période

Pour mesurer $T$ sans se tromper, repère deux points identiques consécutifs de la courbe : deux sommets de suite, ou deux passages par zéro dans le même sens (en montant, par exemple). La durée entre ces deux points est exactement une période. Mesurer d’un zéro au zéro suivant (sens opposé) ne donnerait que la demi-période $\dfrac{T}{2}$ .

Pulsation et fréquence, ce n'est pas la même chose

FAUX : « La pulsation, c’est juste un autre nom de la fréquence, donc $\omega = f$ . »

VRAI : la pulsation et la fréquence se mesurent dans des unités différentes et ne sont pas égales. Elles sont reliées par un facteur $2\pi$ : $\omega = 2\pi f \quad (\text{en rad·s}^{-1}) \qquad \text{tandis que} \qquad f \ (\text{en Hz}).$ Pour le secteur ( $f = 50$ Hz), on a $\omega = 2\pi \times 50 \approx 314$ rad·s^-1, et non $50$ . Vérifie toujours l’unité : des hertz pour $f$ , des radians par seconde pour $\omega$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Compléter le tableau de valeurs de la fonction sinus

On considère la fonction sinus $f : x \mapsto \sin(x)$ sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$ . Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (valeurs exactes), puis décrire l'allure de la courbe obtenue. $x : \quad 0 \quad ; \quad \dfrac{\pi}{2} \quad ; \quad \pi \quad ; \quad \dfrac{3\pi}{2} \quad ; \quad 2\pi$

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Lire la période et l'amplitude d'un signal

À l'écran d'un oscilloscope, un capteur affiche un signal sinusoïdal. On lit que le signal varie entre $-5$ V et $+5$ V, et qu'un motif complet (d'un sommet au sommet suivant) dure $T = 4$ ms, c'est-à-dire $0{,}004$ s. Déterminer l'amplitude $U_{\max}$ , la période $T$ , puis la fréquence $f$ du signal.

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Parité du cosinus et du sinus

Dans un logiciel de traitement du signal, on étudie le comportement des fonctions $\cos$ et $\sin$ quand on remplace $x$ par $-x$ (un retour en arrière dans le temps). On rappelle que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. 1) Donner, sans calculatrice, la valeur de $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ . 2) Donner, sans calculatrice, la valeur de $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ . 3) Préciser, pour chaque courbe ( $\cos$ et $\sin$ ), l'axe ou le point de symétrie correspondant.

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Amplitude et pulsation d'une tension alternative

Sur l'oscilloscope d'un poste de travaux pratiques, la tension $u$ aux bornes d'un générateur est sinusoïdale. La courbe atteint au maximum $+12$ V et au minimum $-12$ V. Un motif complet (d'un sommet au sommet suivant) dure $T = 20$ ms, soit $0{,}02$ s. 1) Déterminer l'amplitude $U_{\max}$ . 2) Calculer la pulsation $\omega$ (valeur exacte puis arrondie à $1$ rad par seconde). 3) En supposant la phase nulle, écrire un modèle $u(t) = U_{\max}\cos(\omega t)$ de cette tension.

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Comparer deux signaux audio (graves et aigus)

Dans une appli de streaming, un égaliseur affiche deux notes audio modélisées par des signaux sinusoïdaux. La note grave a une fréquence $f_1 = 110$ Hz ; la note aiguë a une fréquence $f_2 = 440$ Hz. 1) Calculer la période de chaque signal (en arrondissant à $0{,}01$ ms). 2) Quel signal a la plus grande période ? 3) Comparer les deux périodes : par combien faut-il multiplier la plus courte pour obtenir la plus longue ?

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Utiliser la périodicité du cosinus

Un capteur renvoie un signal modélisé par une fonction cosinus. Pour gagner du temps, on veut calculer $\cos\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)$ en se ramenant à un angle compris entre $0$ et $2\pi$ . On rappelle que la fonction cosinus est périodique de période $2\pi$ , donc $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ pour tout réel $x$ . 1) Écrire $\dfrac{7\pi}{3}$ sous la forme $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi$ . 2) En déduire $\cos\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)$ . 3) Calculer de même $\cos\left(\dfrac{13\pi}{3}\right)$ .

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Bonus

Modéliser l'oscillation d'un pendule

Un capteur enregistre l'oscillation d'un pendule autour de sa position d'équilibre. On note $x(t)$ son écart (en centimètres) à l'instant $t$ (en secondes). À l'instant $t = 0$ , le pendule est lâché à son écart maximal de $6$ cm. On mesure une période d'oscillation $T = 2$ s. On modélise le mouvement par $x(t) = A\cos(\omega t)$ . 1) Déterminer l'amplitude $A$ et la pulsation $\omega$ , puis écrire le modèle $x(t)$ . 2) Prévoir la position du pendule à l'instant $t = \dfrac{1}{3}$ s. 3) Que vaut $x$ à l'instant $t = 0{,}5$ s ? Interpréter.

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Tension sinusoïdale avec phase à l'origine

Dans un atelier d'électronique, un générateur délivre une tension modélisée par $u(t) = 8\cos\left(\omega t + \dfrac{\pi}{3}\right)$ , où $t$ est en secondes et $u(t)$ en volts. La période du signal est $T = 0{,}5$ s. 1) Calculer la fréquence $f$ , puis la pulsation $\omega$ du signal. 2) Donner l'amplitude de la tension et calculer $u(0)$ . 3) Déterminer la valeur de $u$ à l'instant $t = \dfrac{1}{24}$ s, puis interpréter le résultat.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre période et fréquence d'un signal ?

La période est la durée d'un motif complet du signal, en secondes. La fréquence est le nombre de motifs par seconde, en hertz. Les deux sont inverses l'une de l'autre : la fréquence est égale à un divisé par la période, et la période est égale à un divisé par la fréquence. Par exemple, un signal de période un centième de seconde a une fréquence de cent hertz.

La fonction cosinus est-elle paire ou impaire ?

La fonction cosinus est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et le cosinus de moins x est égal au cosinus de x. La fonction sinus, elle, est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, et le sinus de moins x est égal à l'opposé du sinus de x.

Que représentent l'amplitude et la pulsation dans un signal sinusoïdal ?

Dans un signal écrit avec un sinus ou un cosinus, l'amplitude est la valeur maximale atteinte par le signal, par exemple la tension maximale en volts. La pulsation indique la rapidité de l'oscillation : elle se mesure en radians par seconde et se calcule en faisant deux fois pi divisé par la période. Plus la pulsation est grande, plus le signal oscille vite.