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Rêves Vision
Première STI2D

Tension sinusoïdale avec phase à l'origine

Énoncé

Dans un atelier d'électronique, un générateur délivre une tension modélisée par u(t)=8cos⁡(ωt+π3)u(t) = 8\cos\left(\omega t + \dfrac{\pi}{3}\right), où tt est en secondes et u(t)u(t) en volts. La période du signal est T=0,5T = 0{,}5 s. 1) Calculer la fréquence ff, puis la pulsation ω\omega du signal. 2) Donner l'amplitude de la tension et calculer u(0)u(0). 3) Déterminer la valeur de uu à l'instant t=124t = \dfrac{1}{24} s, puis interpréter le résultat.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par la période : f=1Tf = \dfrac{1}{T} donne la fréquence, et ω=2πT\omega = \dfrac{2\pi}{T} donne la pulsation. Vérifie avec ω=2πf\omega = 2\pi f.
  2. L'amplitude est simplement le nombre placé devant le cosinus. Pour u(0)u(0), remplace tt par 00 : il ne reste que l'angle de phase π3\dfrac{\pi}{3} dans le cosinus.
  3. Pour t=124t = \dfrac{1}{24} s, calcule d'abord l'angle complet ωt+φ\omega t + \varphi, mets-le sur le même dénominateur, simplifie, puis utilise la valeur remarquable du cosinus de l'angle obtenu.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la fréquence

    La fréquence est l'inverse de la période : f=1Tf = \dfrac{1}{T}. Avec T=0,5T = 0{,}5 s : f=10,5=2f = \dfrac{1}{0{,}5} = 2 Hz. Le signal effectue donc 22 oscillations complètes par seconde.

  2. 2. Calculer la pulsation

    La pulsation se déduit de la période par ω=2πT\omega = \dfrac{2\pi}{T}. Avec T=0,5T = 0{,}5 s : ω=2π0,5=4π rad⋅s−1\omega = \dfrac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi \ \text{rad·s}^{-1}. On retrouve bien ω=2πf=2π×2=4π rad⋅s−1\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \ \text{rad·s}^{-1}.

  3. 3. Donner l'amplitude et calculer u(0)

    Dans le modèle u(t)=Umax⁡cos⁡(ωt+φ)u(t) = U_{\max}\cos(\omega t + \varphi), l'amplitude est le facteur devant le cosinus : Umax⁡=8U_{\max} = 8 V (la tension varie entre −8-8 V et +8+8 V). Pour t=0t = 0 : u(0)=8cos⁡(ω×0+π3)=8cos⁡(π3)u(0) = 8\cos\left(\omega \times 0 + \dfrac{\pi}{3}\right) = 8\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Or cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} (valeur remarquable), donc u(0)=8×12=4u(0) = 8 \times \dfrac{1}{2} = 4 V. À l'instant initial, à cause de la phase π3\dfrac{\pi}{3}, la tension ne part pas de son maximum mais de 44 V.

  4. 4. Calculer u à l'instant t = 1/24 s et interpréter

    On calcule d'abord l'angle ωt+φ\omega t + \varphi pour t=124t = \dfrac{1}{24} s. On a ωt=4π×124=4π24=π6\omega t = 4\pi \times \dfrac{1}{24} = \dfrac{4\pi}{24} = \dfrac{\pi}{6}, puis ωt+φ=π6+π3=π6+2π6=3π6=π2\omega t + \varphi = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}. Donc u(124)=8cos⁡(π2)u\left(\dfrac{1}{24}\right) = 8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right). Or cos⁡(π2)=0\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0, donc u(124)=8×0=0u\left(\dfrac{1}{24}\right) = 8 \times 0 = 0 V. À cet instant, la tension s'annule : le signal traverse la valeur zéro. La fréquence est f=2f = 2 Hz, la pulsation ω=4π rad⋅s−1\omega = 4\pi \ \text{rad·s}^{-1}, l'amplitude Umax⁡=8U_{\max} = 8 V avec u(0)=4u(0) = 4 V, et u(124)=8cos⁡(π2)=0u\left(\dfrac{1}{24}\right) = 8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 V, instant où la tension passe par zéro.
Réponse finale
f=10,5=2 Hz;ω=2π0,5=4π rad⋅s−1;u(0)=8cos⁡(π3)=4 V;u(124)=8cos⁡(π2)=0 Vf = \dfrac{1}{0{,}5} = 2 \ \text{Hz} \quad ; \quad \omega = \dfrac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi \ \text{rad·s}^{-1} \quad ; \quad u(0) = 8\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 4 \ \text{V} \quad ; \quad u\left(\dfrac{1}{24}\right) = 8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \ \text{V}
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