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Rêves Vision
Première STI2D

Aire d'un capteur carré en fonction du côté

Énoncé

Un capteur photovoltaïque a la forme d'un carré de côté cc (en centimètres). Son aire est donnée par A(c)=c2A(c) = c^2 (en cm carrés). On suppose que le côté peut varier entre 00 et 1010 cm. 1) Calcule l'aire pour c=4c = 4 cm puis pour c=7c = 7 cm. 2) Donne le sens de variation de la fonction AA sur [0 ; 10][0\,;\,10] et dresse son tableau de variations. 3) Le côté double, passant de 33 cm à 66 cm : l'aire double-t-elle ?

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  1. 1. 1) Deux images

    Calculer une aire, c'est calculer une image de la fonction carré. Pour c=4c = 4 : A(4)=42=16A(4) = 4^2 = 16, soit une aire de 1616 cm2^2. Pour c=7c = 7 : A(7)=72=49A(7) = 7^2 = 49, soit une aire de 4949 cm2^2. Le capteur de 44 cm de côté a une aire de 1616 cm2^2, celui de 77 cm de côté une aire de 4949 cm2^2.

  2. 2. 2) Sens de variation sur l'intervalle utile

    La fonction carré est décroissante sur les négatifs puis croissante sur les positifs. Ici, le côté cc vit dans [0 ; 10][0\,;\,10], qui est entièrement positif : sur cet intervalle, AA est donc croissante. Concrètement, plus le côté est grand, plus l'aire est grande, ce qui est logique.

  3. 3. 2) Tableau de variations

    Aux bornes : A(0)=02=0A(0) = 0^2 = 0 et A(10)=102=100A(10) = 10^2 = 100. Le tableau de variations sur [0 ; 10][0\,;\,10] se lit : AA part de 00 (pour c=0c = 0) et monte jusqu'à 100100 (pour c=10c = 10), avec une flèche croissante ↗\nearrow. L'aire varie de 00 à 100100 cm2^2 en croissant.

  4. 4. 3) Le côté double : et l'aire ?

    Pour c=3c = 3 : A(3)=32=9A(3) = 3^2 = 9 cm2^2. Pour c=6c = 6 : A(6)=62=36A(6) = 6^2 = 36 cm2^2. On compare : 369=4\frac{36}{9} = 4. Quand le côté double, l'aire est multipliée par 44, pas par 22. Non, l'aire ne double pas : elle est multipliée par 44, car la fonction carré ne croît pas proportionnellement.
Réponse finale
A(4)=16 cm2 ; A(7)=49 cm2 ; A croissante sur [0 ; 10] de 0 aˋ 100 cm2 ; le coˆteˊ double⇒aire×4A(4) = 16 \ \text{cm}^2 \ ; \ A(7) = 49 \ \text{cm}^2 \ ; \ A \text{ croissante sur } [0\,;\,10] \text{ de } 0 \text{ à } 100 \ \text{cm}^2 \ ; \ \text{le côté double} \Rightarrow \text{aire} \times 4
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