Première STI2D · Chapitre 3

Fonctions de référence

Cours de Première STI2D sur les fonctions : image, antécédent, ensemble de définition, variations et fonctions de référence (carré, inverse, racine carrée). Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En STI2D, presque tout se modélise par une fonction : la tension aux bornes d’un condensateur qui se charge, l’intensité dans un circuit, l’aire d’un capteur, le débit d’une application en fonction du nombre d’utilisateurs. Savoir lire une image, retrouver un antécédent, décrire les variations et reconnaître les fonctions de référence (carré, inverse, racine carrée), c’est la boîte à outils qui te servira dans toutes les autres matières techniques.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

lire l’image d’un nombre et retrouver ses antécédents, par le calcul ou sur une courbe ;
déterminer l’ensemble de définition d’une fonction (en repérant les valeurs interdites) ;
décrire le sens de variation d’une fonction et dresser son tableau de variations ;
reconnaître et utiliser les fonctions de référence : la fonction carré, la fonction inverse et la fonction racine carrée ;
résoudre graphiquement une équation ou une inéquation simple.

À quoi ça sert ?

Imagine que tu dimensionnes un panneau solaire ou que tu étudies la caractéristique d’un composant : tu disposes d’une courbe « tension - courant ». La question « pour une tension de $12$ V, quelle est l’intensité ? » revient à chercher une image. La question « pour quelle tension l’intensité vaut-elle $2$ A ? » revient à chercher un antécédent.

Et quand tu écris qu’une intensité vaut $I = \frac{U}{R}$ à tension fixée, tu manipules une fonction inverse. Bref, derrière chaque grandeur technique, il y a une fonction : autant en maîtriser le vocabulaire une bonne fois.

1. Vocabulaire : image, antécédent, ensemble de définition

Fonction, image et antécédent

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ au plus un nombre, noté $f(x)$ .

$f(x)$ s’appelle l’image de $x$ par $f$ .
Si $f(a) = b$ , on dit que $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ .

Attention à la dissymétrie : un nombre $x$ a une seule image, mais un nombre $b$ peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).

Ensemble de définition

L’ensemble de définition de $f$ , noté $\mathcal{D}_f$ , est l’ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ peut être calculé.

On en exclut les valeurs interdites, c’est-à-dire celles qui produiraient :

une division par $0$ (dénominateur nul) ;
une racine carrée d’un nombre strictement négatif.

Lire une image et un antécédent

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 3$ .

Image de $4$ : $f(4) = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13$ . L’image de $4$ est $13$ .
Antécédents de $1$ : on résout $f(x) = 1$ , soit $x^2 - 3 = 1$ , donc $x^2 = 4$ , d’où $x = 2$ ou $x = -2$ . Le nombre $1$ a deux antécédents : $2$ et $-2$ .

On retiendra : pour une image, on remplace $x$ ; pour un antécédent, on résout une équation.

Lire une image ou un antécédent sur une courbe

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$ .

Image de $a$ : je pars de $a$ sur l’axe horizontal, je monte (ou descends) jusqu’à la courbe, puis je lis l’ordonnée à gauche. J’obtiens $f(a)$ .
Antécédents de $b$ : je pars de $b$ sur l’axe vertical, je trace l’horizontale ; chaque point d’intersection avec la courbe donne un antécédent (je lis son abscisse).

Une horizontale peut couper la courbe en plusieurs points : c’est normal qu’il y ait plusieurs antécédents.

2. Sens de variation et tableau de variations

Fonction croissante, décroissante

Sur un intervalle $I$ :

$f$ est croissante si elle conserve l’ordre : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente (la courbe monte) ;
$f$ est décroissante si elle inverse l’ordre : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue (la courbe descend).

Le sens de variation d’une fonction, c’est la donnée de ses intervalles de croissance et de décroissance.

Dresser un tableau de variations

Je repère l’ensemble de définition et les valeurs où la fonction change de sens (les sommets de la courbe).
Je trace le tableau : la première ligne contient les valeurs de $x$ dans l’ordre croissant.
La deuxième ligne indique le comportement de $f(x)$ avec des flèches : une flèche qui monte pour une croissance, une flèche qui descend pour une décroissance.
J’inscris aux extrémités des flèches les valeurs (ou les images) connues.

3. La fonction carré

Fonction carré

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2.$

Sa courbe est une parabole de sommet l’origine $O$ , symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .
Un carré est toujours positif ou nul : $x^2 \geqslant 0$ .

Tableau de variations de la fonction carré

La fonction carré atteint son minimum $0$ en $x = 0$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x) = x^2$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

On lit que tout nombre strictement positif possède deux antécédents opposés (par exemple $9$ a pour antécédents $3$ et $-3$ ), tandis que les nombres négatifs n’en ont aucun.

4. La fonction inverse

Fonction inverse

La fonction inverse est définie pour $x \neq 0$ par : $f(x) = \frac{1}{x}.$

Son ensemble de définition est $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (tous les réels sauf $0$ ).

Sa courbe est une hyperbole, en deux morceaux séparés par les axes.
$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ , puis décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Tableau de variations de la fonction inverse

La fonction inverse n’est pas définie en $0$ : on marque une double barre dans le tableau.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$	$0$	$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$	$0$

Sur $]0\,;\,+\infty[$ , plus $x$ est grand, plus $\frac{1}{x}$ est petit : c’est exactement ce qui se passe quand une grandeur est inversement proportionnelle à une autre (par exemple l’intensité $I = \frac{U}{R}$ en fonction de $R$ , à tension $U$ fixée).

Le piège de la fonction inverse

FAUX : « comme la fonction inverse descend sur les négatifs et descend sur les positifs, elle est décroissante sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , donc $-2 < 1$ entraîne $f(-2) > f(1)$ . »

C’est faux : $f(-2) = \frac{1}{-2} = -0{,}5$ et $f(1) = \frac{1}{1} = 1$ , donc $f(-2) < f(1)$ .

VRAI : la fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle séparément, mais on ne peut pas comparer les images de deux nombres situés de part et d’autre de $0$ . La règle de l’ordre ne s’applique que si les deux nombres sont dans le même intervalle.

5. La fonction racine carrée

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie pour $x \geqslant 0$ par : $f(x) = \sqrt{x}.$

Son ensemble de définition est $\mathcal{D}_f = [0\,;\,+\infty[$ (les réels positifs ou nuls).

Sa courbe part de l’origine $O$ et monte de plus en plus lentement.
$f$ est croissante sur tout $[0\,;\,+\infty[$ .

Tableau de variations de la fonction racine carrée

La fonction racine carrée est croissante : plus $x$ grandit, plus $\sqrt{x}$ grandit (mais doucement).

$x$	$0$		$+\infty$
$f(x) = \sqrt{x}$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Comme $f$ est croissante, pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : si $a \leqslant b$ , alors $\sqrt{a} \leqslant \sqrt{b}$ . On peut donc comparer deux racines en comparant ce qui est sous le radical.

Racine carrée : deux pièges classiques

FAUX : « $\sqrt{x}$ existe pour tout nombre. »

Non : un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée. Ainsi $\sqrt{-4}$ n’existe pas, et $f(x) = \sqrt{x}$ n’est définie que pour $x \geqslant 0$ .

FAUX aussi : « $\sqrt{x}$ augmente comme $x$ , donc deux fois plus loin, c’est deux fois plus haut. »

Non : $\sqrt{4} = 2$ mais $\sqrt{16} = 4$ ; en multipliant $x$ par $4$ , la racine n’est multipliée que par $2$ .

VRAI : la racine carrée croît en se freinant ; c’est ce qui modélise bien une distance de freinage qui augmente avec la vitesse, mais de moins en moins vite par km/h supplémentaire.

6. Résolution graphique

Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

Pour résoudre $f(x) = k$ graphiquement :

Je trace la droite horizontale d’équation $y = k$ .
Les abscisses des points d’intersection avec $\mathcal{C}_f$ sont les solutions.

Pour une inéquation $f(x) \geqslant k$ : je repère les portions de courbe situées au-dessus de la droite $y = k$ ; les abscisses correspondantes forment l’ensemble des solutions.

Le réflexe « image ou antécédent ? »

Pour ne jamais te tromper de sens de lecture :

on te donne $x$ et on veut $f(x)$ → c’est une image → je pars de l’axe horizontal ;
on te donne $f(x)$ (une valeur d’arrivée) et on cherche $x$ → ce sont des antécédents → je pars de l’axe vertical.

« $x$ connu = image ; résultat connu = antécédent. »

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Aire d'un capteur carré en fonction du côté

Un capteur photovoltaïque a la forme d'un carré de côté $c$ (en centimètres). Son aire est donnée par $A(c) = c^2$ (en cm carrés). On suppose que le côté peut varier entre $0$ et $10$ cm. 1) Calcule l'aire pour $c = 4$ cm puis pour $c = 7$ cm. 2) Donne le sens de variation de la fonction $A$ sur $[0\,;\,10]$ et dresse son tableau de variations. 3) Le côté double, passant de $3$ cm à $6$ cm : l'aire double-t-elle ?

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Côté d'une dalle tactile carrée à partir de son aire

Dans un atelier, on découpe des dalles tactiles carrées de côté $c$ (en cm) pour des bornes de jeu. L'aire d'une dalle est $A(c) = c^2$ (en cm $^2$ ). 1) Calcule l'aire d'une dalle de côté $c = 8$ cm. 2) Un modèle de borne demande une dalle d'aire $A = 144$ cm $^2$ : retrouve le côté correspondant en résolvant l'équation $A(c) = 144$ . 3) Pour l'équation $A(c) = 144$ posée sur tous les nombres réels, on trouve $c = 12$ ou $c = -12$ : explique pourquoi une seule de ces deux valeurs convient ici.

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Lire image et antécédents sur une caractéristique tension-courant

On étudie la caractéristique d'un dipôle : à chaque tension $U$ (en volts) on associe l'intensité $I = f(U)$ (en ampères) qui traverse le dipôle. La courbe passe par les points $A(0\,;\,0)$ , $B(6\,;\,1)$ , $C(12\,;\,2)$ et $D(18\,;\,3)$ . 1) Quelle est l'image de $12$ par $f$  ? Interprète. 2) Quels sont le ou les antécédents de $3$ par $f$  ? 3) Pour quelle tension l'intensité vaut-elle $1$ A ?

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Distance de freinage et fonction racine carrée

Sur un banc d'essai, la distance de freinage $d$ (en mètres) d'un véhicule est modélisée par $d(E) = \sqrt{E}$ , où $E$ est une grandeur liée à l'énergie du véhicule (exprimée dans une unité d'essai). 1) Calcule la distance de freinage d'un véhicule A pour lequel $E_A = 100$ , puis d'un véhicule B pour lequel $E_B = 400$ . 2) De combien la distance de B est-elle plus grande que celle de A ? 3) En t'appuyant sur le sens de variation de la fonction racine carrée, explique pourquoi multiplier $E$ par $4$ ne multiplie la distance que par $2$ .

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Portée d'un capteur : ensemble de définition d'une racine carrée

La portée utile $p$ d'un capteur de distance (en mètres) est modélisée, à partir d'une grandeur de réglage $x$ , par $p(x) = \sqrt{x - 5}$ . La grandeur $x$ est exprimée dans une unité d'essai. 1) Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $p(x)$ existe-t-elle ? Donne l'ensemble de définition de $p$ . 2) Calcule la portée pour $x = 9$ , puis pour $x = 30$ . 3) Sans nouveau calcul, en utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, compare $p(9)$ et $p(30)$ .

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Résistance et intensité : une fonction inverse

Dans un circuit alimenté sous une tension fixe $U = 12$ V, l'intensité dépend de la résistance $R$ (en ohms) selon la loi d'Ohm : $I(R) = \frac{12}{R}$ (en ampères). 1) Pourquoi la valeur $R = 0$ est-elle exclue ? Donne l'ensemble de définition pour $R > 0$ . 2) Complète un tableau de valeurs pour $R \in \{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,12\}$ . 3) Quel est le sens de variation de $I$ quand $R$ augmente ? Interprète physiquement.

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Bonus

Débit d'une appli de streaming et seuil de saturation

Un serveur de streaming dispose d'un débit total de $600$ Mb/s, partagé équitablement entre les $n$ spectateurs connectés simultanément. Le débit reçu par chaque spectateur est donc $D(n) = \frac{600}{n}$ (en Mb/s), avec $n$ entier strictement positif. 1) Calcule le débit par spectateur pour $n = 50$ , $n = 100$ , puis $n = 120$ . 2) Une lecture fluide en haute définition exige au moins $5$ Mb/s par spectateur. Résous l'inéquation $D(n) \geqslant 5$ pour trouver le nombre maximal de spectateurs avant saturation. 3) Que se passe-t-il, qualitativement, quand $n$ devient très grand ?

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Panneau LED carré : résolution graphique d'une équation et d'une inéquation

Un atelier fabrique des panneaux LED carrés de côté $c$ (en dm), avec $c$ compris entre $0$ et $12$ . La surface lumineuse d'un panneau est $S(c) = c^2$ (en dm $^2$ ). On a tracé la courbe de $S$ sur l'intervalle $[0\,;\,12]$ . 1) Lis graphiquement l'image de $9$ par $S$ et vérifie-la par le calcul. 2) Un client commande un panneau de surface $S = 64$ dm $^2$ : résous graphiquement l'équation $S(c) = 64$ sur $[0\,;\,12]$ pour trouver le côté. 3) Le cahier des charges impose une surface d'au moins $49$ dm $^2$ : résous graphiquement l'inéquation $S(c) \geqslant 49$ sur $[0\,;\,12]$ et donne l'ensemble des côtés possibles.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?

L'image d'un nombre est le résultat obtenu en appliquant la fonction à ce nombre : pour une valeur de départ, on lit la valeur d'arrivée. Un antécédent, c'est l'inverse de la question : on connaît la valeur d'arrivée et on cherche la ou les valeurs de départ qui la produisent. Un nombre a toujours au plus une image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en zéro ?

La fonction inverse associe à un nombre son inverse, c'est-à-dire un divisé par ce nombre. Or on ne peut jamais diviser par zéro : l'opération n'a pas de sens. C'est pourquoi son ensemble de définition est l'ensemble des nombres réels privé de zéro. Sur sa courbe, cela se traduit par une cassure de part et d'autre de l'axe vertical.

La fonction racine carrée est-elle croissante ou décroissante ?

La fonction racine carrée est définie pour les nombres positifs ou nuls et elle est croissante sur tout son ensemble de définition. Cela veut dire que plus le nombre de départ est grand, plus sa racine carrée est grande, mais la courbe monte de plus en plus lentement. C'est typique des phénomènes qui augmentent en se freinant, comme une distance de freinage en fonction de la vitesse.