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Rêves Vision
Première STI2D

Panneau LED carré : résolution graphique d'une équation et d'une inéquation

Énoncé

Un atelier fabrique des panneaux LED carrés de côté cc (en dm), avec cc compris entre 00 et 1212. La surface lumineuse d'un panneau est S(c)=c2S(c) = c^2 (en dm2^2). On a tracé la courbe de SS sur l'intervalle [0 ; 12][0\,;\,12]. 1) Lis graphiquement l'image de 99 par SS et vérifie-la par le calcul. 2) Un client commande un panneau de surface S=64S = 64 dm2^2 : résous graphiquement l'équation S(c)=64S(c) = 64 sur [0 ; 12][0\,;\,12] pour trouver le côté. 3) Le cahier des charges impose une surface d'au moins 4949 dm2^2 : résous graphiquement l'inéquation S(c)⩾49S(c) \geqslant 49 sur [0 ; 12][0\,;\,12] et donne l'ensemble des côtés possibles.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour une image, on part de l'axe horizontal ; ici, lire S(9)S(9) revient à calculer 929^2.
  2. Résoudre S(c)=64S(c) = 64 graphiquement, c'est tracer la droite y=64y = 64 et lire l'abscisse des points d'intersection avec la courbe, en ne gardant que ceux de [0 ; 12][0\,;\,12].
  3. Pour S(c)⩾49S(c) \geqslant 49, repère où la courbe est au-dessus de la droite y=49y = 49 ; comme la fonction est croissante sur [0 ; 12][0\,;\,12], cela commence au côté tel que c2=49c^2 = 49.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. 1) Image de 9 (lecture puis calcul)

    Lire l'image de 99, c'est partir de c=9c = 9 sur l'axe horizontal, monter jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée : on lit S(9)=81S(9) = 81. Je vérifie par le calcul de l'image de la fonction carré : S(9)=92=81S(9) = 9^2 = 81. L'image de 99 par SS est 8181 : un panneau de côté 99 dm a une surface de 8181 dm2^2.

  2. 2. 2) Résoudre graphiquement S(c) = 64

    Pour résoudre S(c)=64S(c) = 64 graphiquement, je trace la droite horizontale d'équation y=64y = 64 et je cherche ses points d'intersection avec la courbe sur [0 ; 12][0\,;\,12]. La droite coupe la courbe en un seul point, d'abscisse c=8c = 8 (on vérifie : 82=648^2 = 64). Sur tous les réels, c2=64c^2 = 64 donnerait aussi c=−8c = -8, mais −8-8 n'est pas dans [0 ; 12][0\,;\,12] : il est exclu. Le côté cherché est c=8c = 8 dm.

  3. 3. 3) Résoudre graphiquement l'inéquation S(c) ≥ 49

    Pour l'inéquation S(c)⩾49S(c) \geqslant 49, je trace la droite horizontale y=49y = 49 et je repère les portions de courbe situées au-dessus de cette droite. La courbe atteint la valeur 4949 pour c=7c = 7 (car 72=497^2 = 49), puis, comme la fonction carré est croissante sur [0 ; 12][0\,;\,12], elle reste au-dessus de 4949 pour toutes les abscisses comprises entre 77 et 1212. Les solutions sont donc les côtés cc tels que 7⩽c⩽127 \leqslant c \leqslant 12. Le cahier des charges est respecté pour les côtés de l'intervalle [7 ; 12][7\,;\,12] (en dm).
Réponse finale
S(9)=92=81 dm2 ; S(c)=64⇒c=8 dm (−8 hors de [0 ; 12]) ; S(c)⩾49⇔c∈[7 ; 12] dmS(9) = 9^2 = 81 \ \text{dm}^2 \ ; \ S(c) = 64 \Rightarrow c = 8 \ \text{dm} \ (-8 \text{ hors de } [0\,;\,12]) \ ; \ S(c) \geqslant 49 \Leftrightarrow c \in [7\,;\,12] \ \text{dm}
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