Première STI2D
Portée d'un capteur : ensemble de définition d'une racine carrée
Énoncé
La portée utile d'un capteur de distance (en mètres) est modélisée, à partir d'une grandeur de réglage , par . La grandeur est exprimée dans une unité d'essai. 1) Pour quelles valeurs de l'expression existe-t-elle ? Donne l'ensemble de définition de . 2) Calcule la portée pour , puis pour . 3) Sans nouveau calcul, en utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, compare et .
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. 1) Condition d'existence et ensemble de définition
La fonction racine carrée n'est définie que pour un nombre positif ou nul : l'expression existe donc seulement si ce qui est sous le radical vérifie . J'ajoute aux deux membres : . L'expression existe pour , donc l'ensemble de définition est . -
2. 2) Deux portées (deux images)
Je calcule chaque image en remplaçant , après avoir vérifié que la valeur appartient bien à . Pour : , soit m. Pour : , soit m. La portée vaut m pour et m pour . -
3. 3) Comparer sans recalculer
La fonction racine carrée est croissante sur tout son ensemble de définition : elle conserve l'ordre. Comme , on a aussi , c'est-à-dire , donc d'après la croissance. Ainsi . La portée pour est supérieure à celle pour : comme la racine carrée est croissante, une plus grande valeur de réglage donne une plus grande portée.
Réponse finale
Ta progression