Première STI2D
Maximiser l'aire utile d'un panneau
Énoncé
Sur le toit d'un atelier, on veut délimiter une zone rectangulaire pour poser des cellules photovoltaïques. Le profilé de bordure disponible mesure m, et sert à entourer entièrement le rectangle (c'est son périmètre). On note la largeur du rectangle (en mètres), avec .
1) Exprimer la longueur du rectangle en fonction de , puis montrer que l'aire utile est .
2) Déterminer la largeur qui rend l'aire utile maximale, et calculer cette aire maximale.
1) Exprimer la longueur du rectangle en fonction de , puis montrer que l'aire utile est .
2) Déterminer la largeur qui rend l'aire utile maximale, et calculer cette aire maximale.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Commence par traduire le périmètre : pour un rectangle, périmètre .
- Une fois l'aire écrite sous la forme , repère , , et le signe de .
- L'aire maximale correspond au sommet : calcule , puis .
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
-
1. 1) Exprimer la longueur
Le périmètre du rectangle vaut m, c'est-à-dire . On en déduit que , donc la longueur vaut (en mètres). -
2. 1) Établir l'expression de l'aire
L'aire d'un rectangle est le produit de sa largeur par sa longueur : On développe : c'est-à-dire On a bien obtenu l'expression demandée. -
3. 2) Repérer la nature de l'extremum
est un trinôme du second degré avec , et . Comme , la parabole est tournée vers le bas : l'aire admet un maximum, atteint au sommet. -
4. 2) Calculer la largeur optimale
L'abscisse du sommet vaut L'aire est donc maximale pour une largeur de m (le rectangle est alors un carré de côté m, ce qui est logique). -
5. 2) Calculer l'aire maximale et conclure
On remplace par : L'aire maximale vaut donc m.
L'aire utile est maximale pour une largeur de m et vaut alors m.
Réponse finale
Ta progression