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Rêves Vision
Première STI2D

Étudier le signe d'un écart de tension

Énoncé

Sur une carte électronique, l'écart de tension (en volts) entre un capteur et sa valeur de consigne est modélisé, en fonction du temps tt (en secondes), par f(t)=t2−7t+10f(t) = t^2 - 7t + 10, pour tt compris entre 00 et 88. Un écart positif signifie que le capteur est au-dessus de la consigne, un écart négatif qu'il est en dessous.

1) Résoudre l'équation f(t)=0f(t) = 0 pour trouver les instants où le capteur repasse exactement par la consigne.

2) Dresser le tableau de signes de f(t)f(t) et préciser pendant quelle durée le capteur reste en dessous de la consigne.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. 1) Identifier les coefficients

    L'expression f(t)=t2−7t+10f(t) = t^2 - 7t + 10 est un trinôme du second degré de la forme at2+bt+cat^2 + bt + c avec a=1a = 1, b=−7b = -7 et c=10c = 10. On reporte chaque coefficient avec son signe.

  2. 2. 1) Calculer le discriminant

    Le discriminant vaut Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. On remplace : Δ=(−7)2−4×1×10=49−40=9.\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 10 = 49 - 40 = 9. Comme Δ=9>0\Delta = 9 > 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes.

  3. 3. 1) Calculer les racines

    On applique les formules avec Δ=9=3\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3 : t1=−b−Δ2a=7−32×1=42=2,t_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7 - 3}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2, et t2=−b+Δ2a=7+32×1=102=5.t_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7 + 3}{2 \times 1} = \dfrac{10}{2} = 5. Le capteur repasse donc par la consigne aux instants t=2t = 2 s et t=5t = 5 s.

  4. 4. 2) Déterminer le signe du trinôme

    Comme a=1>0a = 1 > 0, le trinôme est du signe de aa (donc positif) à l'extérieur des racines, et du signe contraire (donc négatif) entre les racines 22 et 55. Ainsi f(t)>0f(t) > 0 pour 0≤t<20 \leq t < 2 et pour 5<t≤85 < t \leq 8, et f(t)<0f(t) < 0 pour 2<t<52 < t < 5.

  5. 5. 2) Conclure sur la durée

    Le capteur est en dessous de la consigne lorsque f(t)<0f(t) < 0, c'est-à-dire pour 2<t<52 < t < 5. Cette phase dure 5−2=35 - 2 = 3 secondes.

    Le capteur repasse par la consigne aux instants t=2t = 2 s et t=5t = 5 s ; il reste en dessous de la consigne entre ces deux instants, soit pendant 33 secondes.
Réponse finale
Δ=9>0;t1=2 s, t2=5 s;f(t)<0 pour 2<t<5 (dureˊe 3 s)\Delta = 9 > 0 \quad ; \quad t_1 = 2 \ \text{s}, \ t_2 = 5 \ \text{s} \quad ; \quad f(t) < 0 \ \text{pour} \ 2 < t < 5 \ (\text{durée } 3 \ \text{s})
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