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Rêves Vision
Première STI2D

La hauteur maximale d'un jet d'eau

Énoncé

Sur un banc d'essai, un jet d'eau sort d'une buse et décrit une trajectoire parabolique. Sa hauteur, en mètres, en fonction de la distance horizontale xx (en mètres) est donnée par h(x)=−x2+6xh(x) = -x^2 + 6x, pour xx compris entre 00 et 66. Déterminer la distance à laquelle le jet atteint sa hauteur maximale, puis cette hauteur maximale.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les coefficients

    La fonction h(x)=−x2+6xh(x) = -x^2 + 6x est un trinôme du second degré de la forme ax2+bx+cax^2 + bx + c avec a=−1a = -1, b=6b = 6 et c=0c = 0. Comme a=−1<0a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas : elle admet donc un maximum, atteint au sommet.

  2. 2. Calculer l'abscisse du sommet

    L'abscisse du sommet vaut α=−b2a\alpha = \dfrac{-b}{2a}. On remplace : α=−62×(−1)=−6−2=3.\alpha = \dfrac{-6}{2 \times (-1)} = \dfrac{-6}{-2} = 3. La hauteur est donc maximale pour une distance horizontale de 33 m.

  3. 3. Calculer la hauteur maximale

    La hauteur maximale est l'ordonnée du sommet β=h(α)=h(3)\beta = h(\alpha) = h(3). On remplace xx par 33 : h(3)=−(3)2+6×3=−9+18=9.h(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 = -9 + 18 = 9. La hauteur maximale du jet est donc de 99 m.

  4. 4. Conclure

    Comme a<0a < 0, on a bien un maximum, ce qui est cohérent avec un jet d'eau qui monte puis redescend. Le jet atteint sa hauteur maximale de 99 m à une distance horizontale de 33 m de la buse.
Réponse finale
α=−62×(−1)=3 metβ=h(3)=9 m\alpha = \frac{-6}{2 \times (-1)} = 3 \ \text{m} \quad \text{et} \quad \beta = h(3) = 9 \ \text{m}
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