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Rêves Vision
Première STI2D

Résoudre une équation du second degré (portée d'un jet)

Énoncé

Lors d'un test d'arrosage, la hauteur d'eau (en mètres) au-dessus d'une gouttière est modélisée par h(x)=−2x2+8x−6h(x) = -2x^2 + 8x - 6, où xx est la distance horizontale en mètres. On cherche les distances pour lesquelles le jet revient au niveau de la gouttière, c'est-à-dire les solutions de l'équation −2x2+8x−6=0-2x^2 + 8x - 6 = 0. Résoudre cette équation.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les coefficients

    L'équation −2x2+8x−6=0-2x^2 + 8x - 6 = 0 est du second degré, de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 avec a=−2a = -2, b=8b = 8 et c=−6c = -6. On reporte bien chaque coefficient avec son signe.

  2. 2. Calculer le discriminant

    Le discriminant vaut Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. On remplace : Δ=82−4×(−2)×(−6)=64−48=16.\Delta = 8^2 - 4 \times (-2) \times (-6) = 64 - 48 = 16. Comme Δ=16>0\Delta = 16 > 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes.

  3. 3. Calculer les racines

    On applique les formules avec Δ=16=4\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4 : x1=−b−Δ2a=−8−42×(−2)=−12−4=3,x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-8 - 4}{2 \times (-2)} = \dfrac{-12}{-4} = 3, et x2=−b+Δ2a=−8+42×(−2)=−4−4=1.x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-8 + 4}{2 \times (-2)} = \dfrac{-4}{-4} = 1.

  4. 4. Conclure

    Les deux solutions de l'équation sont 11 et 33. Le jet revient au niveau de la gouttière pour une distance de 11 m puis de 33 m : l'ensemble des solutions est S={1 ;3}S = \{1 \, ; 3\}.
Réponse finale
Δ=16>0;x1=3 m, x2=1 m;S={1 ;3}\Delta = 16 > 0 \quad ; \quad x_1 = 3 \ \text{m}, \ x_2 = 1 \ \text{m} \quad ; \quad S = \{1 \, ; 3\}
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