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Rêves Vision
Première STI2D

Le bénéfice d'un atelier (quantité optimale et rentabilité)

Énoncé

Un atelier fabrique des capteurs connectés. Lorsqu'il en produit qq centaines par jour, le bénéfice quotidien (en centaines d'euros) est modélisé par B(q)=−q2+80q−700B(q) = -q^2 + 80q - 700, pour qq compris entre 00 et 8080.

1) Déterminer la quantité qq qui rend le bénéfice maximal, et calculer ce bénéfice maximal.

2) Déterminer les valeurs de qq pour lesquelles l'atelier est rentable, c'est-à-dire pour lesquelles B(q)>0B(q) > 0.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour un maximum, pense au sommet de la parabole : son abscisse est α=−b2a\alpha = \dfrac{-b}{2a}.
  2. Pour la zone de rentabilité, résous d'abord B(q)=0B(q) = 0 avec le discriminant, puis fais un tableau de signes.
  3. Rappelle-toi la règle : un trinôme est du signe de aa à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. Ici a<0a < 0, donc B(q)>0B(q) > 0 entre les deux racines.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. 1) Repérer la nature de l'extremum

    B(q)=−q2+80q−700B(q) = -q^2 + 80q - 700 est un trinôme du second degré avec a=−1a = -1, b=80b = 80 et c=−700c = -700. Comme a=−1<0a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas : le bénéfice admet un maximum, atteint au sommet.

  2. 2. 1) Calculer la quantité optimale

    L'abscisse du sommet vaut α=−b2a=−802×(−1)=−80−2=40.\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-80}{2 \times (-1)} = \dfrac{-80}{-2} = 40. Le bénéfice est donc maximal pour q=40q = 40, soit 4040 centaines de capteurs, c'est-à-dire 4 0004\,000 capteurs par jour.

  3. 3. 1) Calculer le bénéfice maximal

    On remplace qq par 4040 dans BB : B(40)=−(40)2+80×40−700=−1 600+3 200−700=900.B(40) = -(40)^2 + 80 \times 40 - 700 = -1\,600 + 3\,200 - 700 = 900. Le bénéfice maximal vaut donc 900900 centaines d'euros, soit 90 00090\,000 €.

  4. 4. 2) Calculer les racines (seuils de rentabilité)

    L'atelier est rentable quand B(q)>0B(q) > 0. On cherche d'abord les racines en résolvant B(q)=0B(q) = 0. Le discriminant vaut Δ=802−4×(−1)×(−700)=6 400−2 800=3 600,\Delta = 80^2 - 4 \times (-1) \times (-700) = 6\,400 - 2\,800 = 3\,600, donc Δ=60\sqrt{\Delta} = 60. Les racines sont q1=−80+602×(−1)=−20−2=10q_1 = \dfrac{-80 + 60}{2 \times (-1)} = \dfrac{-20}{-2} = 10 et q2=−80−602×(−1)=−140−2=70.q_2 = \dfrac{-80 - 60}{2 \times (-1)} = \dfrac{-140}{-2} = 70.

  5. 5. 2) Étudier le signe et conclure

    Le trinôme est du signe de aa (donc négatif, car a<0a < 0) à l'extérieur des racines, et du signe contraire (donc positif) entre les racines 1010 et 7070. Ainsi B(q)>0B(q) > 0 pour 10<q<7010 < q < 70.

    Le bénéfice est maximal et vaut 90 00090\,000 € pour 4 0004\,000 capteurs (q=40q = 40) ; l'atelier est rentable lorsque la production qq est strictement comprise entre 1010 et 7070 centaines de capteurs.
Réponse finale
q=40 (soit 4 000 capteurs), Bmax⁡=900 (soit 90 000 euros);B(q)>0 pour 10<q<70q = 40 \ (\text{soit } 4\,000 \text{ capteurs}), \ B_{\max} = 900 \ (\text{soit } 90\,000 \ \text{euros}) \quad ; \quad B(q) > 0 \ \text{pour} \ 10 < q < 70
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