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Rêves Vision
Première STI2D

Forme canonique et coût minimal d'une impression 3D

Énoncé

Dans un atelier de prototypage, le coût de fonctionnement d'une imprimante 3D (en euros) dépend de la vitesse d'impression vv (en centimètres par seconde) selon C(v)=v2−12v+40C(v) = v^2 - 12v + 40, pour vv compris entre 11 et 1111.

1) Déterminer les réels α\alpha et β\beta tels que la forme canonique soit C(v)=(v−α)2+βC(v) = (v - \alpha)^2 + \beta.

2) En déduire la vitesse qui rend le coût minimal et la valeur de ce coût minimal.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La forme canonique est C(v)=a(v−α)2+βC(v) = a(v - \alpha)^2 + \beta ; ici a=1a = 1, et α=−b2a\alpha = \dfrac{-b}{2a}.
  2. Une fois α\alpha trouvé, calcule β=C(α)\beta = C(\alpha) en remplaçant vv par cette valeur.
  3. Un carré est toujours positif ou nul : (v−6)2(v - 6)^2 vaut 00 pour v=6v = 6, ce qui donne directement le minimum quand a>0a > 0.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. 1) Calculer l'abscisse du sommet

    C(v)=v2−12v+40C(v) = v^2 - 12v + 40 est un trinôme du second degré avec a=1a = 1, b=−12b = -12 et c=40c = 40. L'abscisse du sommet vaut α=−b2a=122×1=122=6.\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{2 \times 1} = \dfrac{12}{2} = 6. On a donc α=6\alpha = 6.

  2. 2. 1) Calculer l'ordonnée du sommet

    L'ordonnée du sommet vaut β=C(α)=C(6)\beta = C(\alpha) = C(6). On remplace vv par 66 : C(6)=62−12×6+40=36−72+40=4.C(6) = 6^2 - 12 \times 6 + 40 = 36 - 72 + 40 = 4. On a donc β=4\beta = 4, et la forme canonique s'écrit C(v)=(v−6)2+4.C(v) = (v - 6)^2 + 4.

  3. 3. 1) Vérifier le développement

    On contrôle en développant : (v−6)2+4=v2−12v+36+4=v2−12v+40.(v - 6)^2 + 4 = v^2 - 12v + 36 + 4 = v^2 - 12v + 40. On retrouve bien C(v)C(v), donc la forme canonique est correcte.

  4. 4. 2) Lire le minimum sur la forme canonique

    Dans C(v)=(v−6)2+4C(v) = (v - 6)^2 + 4, le terme (v−6)2(v - 6)^2 est un carré : il est toujours positif ou nul, et il vaut 00 uniquement lorsque v=6v = 6. Comme a=1>0a = 1 > 0, la parabole est tournée vers le haut : le coût admet donc un minimum, atteint au sommet.

  5. 5. 2) Conclure

    Le coût est le plus petit possible quand (v−6)2=0(v - 6)^2 = 0, c'est-à-dire pour v=6v = 6. À ce moment C(6)=0+4=4C(6) = 0 + 4 = 4. La valeur v=6v = 6 appartient bien à l'intervalle [1 ;11][1 \, ; 11].

    Le coût de fonctionnement est minimal pour une vitesse de 66 cm/s, et ce coût minimal vaut 44 euros.
Réponse finale
C(v)=(v−6)2+4;v=6 cm/s, Cmin⁡=C(6)=4 eurosC(v) = (v - 6)^2 + 4 \quad ; \quad v = 6 \ \text{cm/s}, \ C_{\min} = C(6) = 4 \ \text{euros}
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