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Rêves Vision
Première STI2D

Le volume maximal d'un bac en tôle

Énoncé

Dans un atelier de chaudronnerie, on fabrique un bac sans couvercle à partir d'une plaque de tôle rectangulaire de 1616 cm de long et 1010 cm de large. On découpe à chaque coin un carré de côté xx (en cm), puis on relève les bords pour former le bac, avec 0<x<50 < x < 5.

1) Exprimer le volume V(x)V(x) du bac, puis montrer qu'il vaut V(x)=4x3−52x2+160xV(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x.

2) On admet que V′(x)=12x2−104x+160V'(x) = 12x^2 - 104x + 160. Étudier le signe de V′(x)V'(x) sur l'intervalle, puis en déduire la valeur de xx qui rend le volume maximal et calculer ce volume maximal.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Fais un schéma : après avoir retiré un carré de côté xx à chaque coin, la hauteur du bac vaut xx, le fond mesure 16−2x16 - 2x de long et 10−2x10 - 2x de large.
  2. Le volume d'un pavé est aire de la base fois hauteur : ici V(x)=(16−2x)(10−2x)×xV(x) = (16 - 2x)(10 - 2x) \times x, qu'il faut développer.
  3. Pour optimiser, étudie le signe de V′(x)=12x2−104x+160V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 avec le discriminant : VV est maximal là où V′V' change de signe en passant du positif au négatif, et tu ne gardes que la racine située dans ]0 ;5[]0 \, ; 5[.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. 1) Donner les dimensions du bac

    On enlève un carré de côté xx à chaque coin, puis on relève les bords : la hauteur du bac est alors xx. Sur la longueur (1616 cm), on retire xx à chaque extrémité, donc le fond mesure 16−2x16 - 2x de long. Sur la largeur (1010 cm), on retire de même xx à chaque extrémité, donc le fond mesure 10−2x10 - 2x de large.

  2. 2. 1) Établir l'expression du volume

    Le volume d'un pavé droit est aire de la base×hauteur\text{aire de la base} \times \text{hauteur}. La base est un rectangle de dimensions (16−2x)(16 - 2x) et (10−2x)(10 - 2x), et la hauteur vaut xx, donc : V(x)=(16−2x)(10−2x)×x.V(x) = (16 - 2x)(10 - 2x) \times x. On développe d'abord le produit : (16−2x)(10−2x)=160−32x−20x+4x2=4x2−52x+160.(16 - 2x)(10 - 2x) = 160 - 32x - 20x + 4x^2 = 4x^2 - 52x + 160. Puis on multiplie par xx : V(x)=x(4x2−52x+160)=4x3−52x2+160x.V(x) = x(4x^2 - 52x + 160) = 4x^3 - 52x^2 + 160x. C'est bien un polynôme de degré 3.

  3. 3. 2) Identifier les coefficients de la dérivée

    La dérivée V′(x)=12x2−104x+160V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 est un trinôme du second degré avec a=12a = 12, b=−104b = -104 et c=160c = 160. On va étudier son signe pour savoir où VV croît puis décroît.

  4. 4. 2) Résoudre V'(x) = 0

    Le discriminant vaut Δ=(−104)2−4×12×160=10 816−7 680=3 136,\Delta = (-104)^2 - 4 \times 12 \times 160 = 10\,816 - 7\,680 = 3\,136, donc Δ=56\sqrt{\Delta} = 56. Les racines sont x1=104−562×12=4824=2x_1 = \dfrac{104 - 56}{2 \times 12} = \dfrac{48}{24} = 2 et x2=104+562×12=16024=203≈6,67.x_2 = \dfrac{104 + 56}{2 \times 12} = \dfrac{160}{24} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67. Seule la valeur x=2x = 2 appartient à l'intervalle ]0 ;5[]0 \, ; 5[ (la valeur 203\dfrac{20}{3} en est exclue).

  5. 5. 2) Étudier le signe de la dérivée

    Comme a=12>0a = 12 > 0, le trinôme V′(x)V'(x) est du signe de aa (donc positif) à l'extérieur des racines, et du signe contraire (donc négatif) entre les racines 22 et 203\dfrac{20}{3}. Sur l'intervalle ]0 ;5[]0 \, ; 5[ : V′(x)>0V'(x) > 0 pour 0<x<20 < x < 2 (donc VV est croissante), puis V′(x)<0V'(x) < 0 pour 2<x<52 < x < 5 (donc VV est décroissante). Le volume admet donc un maximum en x=2x = 2.

  6. 6. 2) Calculer le volume maximal et conclure

    On remplace xx par 22 : V(2)=4×23−52×22+160×2=4×8−52×4+320=32−208+320=144.V(2) = 4 \times 2^3 - 52 \times 2^2 + 160 \times 2 = 4 \times 8 - 52 \times 4 + 320 = 32 - 208 + 320 = 144. On peut vérifier directement : V(2)=(16−4)(10−4)×2=12×6×2=144.V(2) = (16 - 4)(10 - 4) \times 2 = 12 \times 6 \times 2 = 144.

    Le volume est maximal pour une découpe de x=2x = 2 cm aux coins, et le bac a alors un volume de 144144 cm3^3.
Réponse finale
V(x)=(16−2x)(10−2x)×x=4x3−52x2+160x;x=2 cm, Vmax⁡=V(2)=144 cm3V(x) = (16 - 2x)(10 - 2x) \times x = 4x^3 - 52x^2 + 160x \quad ; \quad x = 2 \ \text{cm}, \ V_{\max} = V(2) = 144 \ \text{cm}^3
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