Aller au contenu
Rêves Vision
Première STI2D Approfondissement gratuit

Le volume maximal d'une boîte pliée

Énoncé

Dans un atelier de prototypage, on fabrique une boîte sans couvercle à partir d'une plaque carrée de tôle de 3030 cm de côté. On découpe à chaque coin un petit carré de côté xx (en cm), puis on relève les bords pour former la boîte, avec 0<x<150 < x < 15.

1) Exprimer le volume V(x)V(x) de la boîte, puis montrer qu'il vaut V(x)=4x3−120x2+900xV(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x.

2) On admet que V′(x)=12x2−240x+900V'(x) = 12x^2 - 240x + 900. Étudier le signe de V′(x)V'(x) sur l'intervalle, puis en déduire la valeur de xx qui rend le volume maximal et calculer ce volume maximal.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Fais un schéma : après avoir enlevé un carré de côté xx à chaque coin, la hauteur de la boîte vaut xx et le côté du fond vaut 30−2x30 - 2x.
  2. Le volume d'un pavé est aire de la base fois hauteur : ici V(x)=(30−2x)2×xV(x) = (30 - 2x)^2 \times x, qu'il faut développer.
  3. Pour optimiser, étudie le signe de V′(x)=12x2−240x+900V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 avec le discriminant : VV est maximal là où V′V' change de signe en passant du positif au négatif.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. 1) Donner les dimensions de la boîte

    On enlève un carré de côté xx à chaque coin, puis on relève les bords. La hauteur de la boîte est alors xx. La base est un carré : sur chaque côté de la plaque (3030 cm), on retire xx de chaque extrémité, donc le côté de la base mesure 30−2x30 - 2x (en cm).

  2. 2. 1) Établir l'expression du volume

    Le volume d'un pavé droit est aire de la base×hauteur\text{aire de la base} \times \text{hauteur}. La base est un carré de côté 30−2x30 - 2x, donc : V(x)=(30−2x)2×x.V(x) = (30 - 2x)^2 \times x. On développe le carré : (30−2x)2=900−120x+4x2.(30 - 2x)^2 = 900 - 120x + 4x^2. Puis on multiplie par xx : V(x)=x(900−120x+4x2)=900x−120x2+4x3,V(x) = x(900 - 120x + 4x^2) = 900x - 120x^2 + 4x^3, c'est-à-dire V(x)=4x3−120x2+900x.V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x. C'est bien un polynôme de degré 3.

  3. 3. 2) Identifier les coefficients de la dérivée

    La dérivée V′(x)=12x2−240x+900V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 est un trinôme du second degré avec a=12a = 12, b=−240b = -240 et c=900c = 900. On va étudier son signe pour savoir où VV croît puis décroît.

  4. 4. 2) Résoudre V'(x) = 0

    Le discriminant vaut Δ=(−240)2−4×12×900=57 600−43 200=14 400,\Delta = (-240)^2 - 4 \times 12 \times 900 = 57\,600 - 43\,200 = 14\,400, donc Δ=120\sqrt{\Delta} = 120. Les racines sont x1=240−1202×12=12024=5x_1 = \dfrac{240 - 120}{2 \times 12} = \dfrac{120}{24} = 5 et x2=240+1202×12=36024=15.x_2 = \dfrac{240 + 120}{2 \times 12} = \dfrac{360}{24} = 15. Seule la valeur x=5x = 5 appartient à l'intervalle ]0 ;15[]0 \, ; 15[ (la valeur 1515 est exclue).

  5. 5. 2) Étudier le signe de la dérivée

    Comme a=12>0a = 12 > 0, le trinôme V′(x)V'(x) est du signe de aa (donc positif) à l'extérieur des racines, et du signe contraire (donc négatif) entre les racines 55 et 1515. Sur l'intervalle ]0 ;15[]0 \, ; 15[ : V′(x)>0V'(x) > 0 pour 0<x<50 < x < 5 (donc VV est croissante) puis V′(x)<0V'(x) < 0 pour 5<x<155 < x < 15 (donc VV est décroissante). Le volume admet donc un maximum en x=5x = 5.

  6. 6. 2) Calculer le volume maximal et conclure

    On remplace xx par 55 : V(5)=4×53−120×52+900×5=4×125−120×25+4 500=500−3 000+4 500=2 000.V(5) = 4 \times 5^3 - 120 \times 5^2 + 900 \times 5 = 4 \times 125 - 120 \times 25 + 4\,500 = 500 - 3\,000 + 4\,500 = 2\,000. Le volume maximal vaut donc 2 0002\,000 cm3^3 (on peut vérifier directement : V(5)=(30−10)2×5=202×5=400×5=2 000V(5) = (30 - 10)^2 \times 5 = 20^2 \times 5 = 400 \times 5 = 2\,000).

    Le volume est maximal pour une découpe de x=5x = 5 cm aux coins, et la boîte a alors un volume de 2 0002\,000 cm3^3.
Réponse finale
V(x)=(30−2x)2×x=4x3−120x2+900x;x=5 cm, Vmax⁡=V(5)=2 000 cm3V(x) = (30 - 2x)^2 \times x = 4x^3 - 120x^2 + 900x \quad ; \quad x = 5 \ \text{cm}, \ V_{\max} = V(5) = 2\,000 \ \text{cm}^3
Signaler une erreur

Ta progression

Chapitre

Polynômes du second degré ← Retour au cours

À suivre