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Rêves Vision
Première STI2D

Donnees cumulees envoyees par un serveur

Énoncé

Un serveur de streaming envoie de la video. Son debit, a l'instant tt (en minutes), est modelise par d(t)=0,6t2−3t+6d(t) = 0{,}6t^2 - 3t + 6 (en Go par minute), pour 0⩽t⩽60 \leqslant t \leqslant 6. On note V(t)V(t) la quantite totale de donnees (en Go) deja envoyee a l'instant tt. Le debit est la vitesse a laquelle ce total augmente, donc V′(t)=d(t)V'(t) = d(t). Au demarrage, rien n'a encore ete envoye : V(0)=0V(0) = 0. Determiner V(t)V(t), puis calculer la quantite de donnees envoyee au bout de 55 minutes.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le debit, c'est la vitesse a laquelle le total grandit : c'est donc la derivee de VV. Pour retrouver VV, cherche une primitive de dd.
  2. Primitive terme par terme sans oublier les coefficients decimaux : une primitive de 0,6t20{,}6t^2 est 0,6×t33=0,2t30{,}6 \times \dfrac{t^3}{3} = 0{,}2t^3. Pense au + C+\,C.
  3. Avec V(0)=0V(0) = 0, remplace tt par 00 dans la forme generale : tu obtiens C=0C = 0. Il ne reste qu'a calculer V(5)V(5).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Relier le total au debit

    Le debit d(t)d(t) est la vitesse de variation de la quantite envoyee, c'est-a-dire sa derivee : V′(t)=d(t)V'(t) = d(t). Le total VV est donc une primitive du debit dd. On cherche d'abord la forme generale des primitives de d(t)=0,6t2−3t+6d(t) = 0{,}6t^2 - 3t + 6.

  2. 2. Primitiver le debit terme par terme

    On primitive chaque terme en gardant les coefficients decimaux. Une primitive de 0,6t20{,}6t^2 est 0,6×t33=0,2t30{,}6 \times \dfrac{t^3}{3} = 0{,}2t^3. Une primitive de −3t-3t est −3×t22=−1,5t2-3 \times \dfrac{t^2}{2} = -1{,}5t^2. Une primitive de la constante 66 est 6t6t. La forme generale est donc : V(t)=0,2t3−1,5t2+6t+C.V(t) = 0{,}2t^3 - 1{,}5t^2 + 6t + C.

  3. 3. Fixer la constante avec la condition initiale

    Au demarrage, V(0)=0V(0) = 0. On remplace tt par 00 dans la forme generale : V(0)=0,2×03−1,5×02+6×0+C=C.V(0) = 0{,}2 \times 0^3 - 1{,}5 \times 0^2 + 6 \times 0 + C = C. Comme on veut V(0)=0V(0) = 0, on en deduit que C=0C = 0. La quantite envoyee est donc V(t)=0,2t3−1,5t2+6t.V(t) = 0{,}2t^3 - 1{,}5t^2 + 6t.

  4. 4. Calculer le total a t = 5 min

    On remplace tt par 55 : V(5)=0,2×53−1,5×52+6×5.V(5) = 0{,}2 \times 5^3 - 1{,}5 \times 5^2 + 6 \times 5. On calcule chaque terme : 0,2×125=250{,}2 \times 125 = 25 ; 1,5×25=37,51{,}5 \times 25 = 37{,}5 ; 6×5=306 \times 5 = 30. Donc V(5)=25−37,5+30=17,5V(5) = 25 - 37{,}5 + 30 = 17{,}5 Go.

  5. 5. Verifier la coherence

    On controle en derivant : V′(t)=0,2×3t2−1,5×2t+6=0,6t2−3t+6=d(t).V'(t) = 0{,}2 \times 3t^2 - 1{,}5 \times 2t + 6 = 0{,}6t^2 - 3t + 6 = d(t). On retrouve bien le debit. De plus le total 17,517{,}5 Go est positif et raisonnable. La quantite envoyee est V(t)=0,2t3−1,5t2+6tV(t) = 0{,}2t^3 - 1{,}5t^2 + 6t, et au bout de 55 minutes elle vaut 17,517{,}5 Go.
Réponse finale
V(t)=0,2t3−1,5t2+6tetV(5)=17,5 GoV(t) = 0{,}2t^3 - 1{,}5t^2 + 6t \quad \text{et} \quad V(5) = 17{,}5 \ \text{Go}
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