Première STI2D · Chapitre 9

Primitives

Cours de Première STI2D sur les primitives : primitive d'une fonction continue, primitives des fonctions usuelles, primitive vérifiant une condition initiale. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En sciences de l’ingenieur, on mesure souvent une vitesse de variation : la vitesse d’un mobile, l’intensite qui charge un condensateur, le debit d’une pompe. Pour remonter a la grandeur cumulee (la position, la charge, le volume), il faut faire l’operation inverse de la derivation : chercher une primitive. C’est l’outil de base avant d’aborder l’integration.

Ce que tu sauras faire

Je sais reconnaitre qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ en verifiant que $F' = f$ .
Je connais les primitives des fonctions usuelles (puissances, fonction constante).
Je sais determiner une primitive d’une somme du type $a\,u + b\,v$ .
Je sais trouver la primitive qui verifie une condition initiale donnee, en calculant la constante.

A quoi ça sert ?

Imagine que tu connais la vitesse d’une voiture a chaque instant, mais pas sa position. La vitesse, c’est la derivee de la position. Pour retrouver la position, tu dois donc « remonter » la derivee : c’est exactement chercher une primitive.

Pareil quand tu connais l’intensite $i(t)$ qui arrive sur un condensateur et que tu veux la charge accumulee, ou le debit d’une pompe et le volume d’eau deja transvase. A chaque fois, la grandeur mesuree est la derivee de celle qui t’interesse : la primitive te ramene a la grandeur cumulee.

Primitive d'une fonction

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . On dit qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque $F$ est derivable sur $I$ et que, pour tout $x$ de $I$ : $F'(x) = f(x).$

Chercher une primitive de $f$ , c’est donc faire l’operation inverse de la derivation : on connait la derivee $f$ et on remonte a une fonction $F$ dont elle provient.

Toute fonction continue admet des primitives

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ , alors $f$ admet au moins une primitive sur $I$ .

Et si $F$ en est une, alors $f$ en admet une infinite : ce sont toutes les fonctions de la forme $x \mapsto F(x) + C,$ ou $C$ est un nombre reel quelconque, appele constante d’integration. Deux primitives d’une meme fonction ne different donc que d’une constante.

Pourquoi ce 'plus C' ?

La derivee d’une constante est nulle. Donc si $F'(x) = f(x)$ , alors $\big(F(x) + C\big)' = F'(x) + 0 = f(x)$ aussi. Ajouter une constante ne change pas la derivee : voila pourquoi il y a une infinite de primitives, toutes a une constante pres.

Primitives des fonctions usuelles

Sur un intervalle ou tout est defini, $f$ admet pour primitive $F$ (a une constante $C$ pres) :

Fonction $f(x)$	Une primitive $F(x)$
$k$ (constante)	$kx$
$x$	$\dfrac{x^2}{2}$
$x^2$	$\dfrac{x^3}{3}$
$x^n$ (avec $n$ entier, $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$

La ligne la plus utile est celle des puissances : pour primitiver $x^n$ , on augmente l’exposant de 1, puis on divise par le nouvel exposant.

Primitive d'une combinaison a u + b v

Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur un meme intervalle, et si $a$ et $b$ sont des reels, alors une primitive de $a\,f + b\,g$ est : $a\,F + b\,G.$

Autrement dit, on peut primitiver terme par terme et sortir les coefficients : c’est ce qui permet de traiter n’importe quel polynome.

Trouver une primitive d'un polynome

On primitive chaque terme separement, en se rappelant qu’on augmente l’exposant de 1 puis on divise par le nouvel exposant.

Reecrire $f(x)$ comme une somme de termes du type $a\,x^n$ .
Primitiver chaque $a\,x^n$ en $a \times \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ .
Ne pas oublier que la primitive d’une constante $k$ est $kx$ .
On peut ajouter $+\,C$ pour la forme generale ; si on cherche juste une primitive, on prend $C = 0$ .

Exemple : pour $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ , on primitive terme par terme : $F(x) = 6 \times \frac{x^3}{3} - 4 \times \frac{x^2}{2} + 3x = 2x^3 - 2x^2 + 3x.$ On peut verifier en derivant : $F'(x) = 6x^2 - 4x + 3 = f(x)$ . C’est bien une primitive.

Determiner la primitive qui verifie une condition initiale

On cherche une seule primitive, celle qui prend une valeur imposee en un point (par exemple $F(0) = 4$ ). On dit que la valeur imposee est la condition initiale.

Ecrire la forme generale des primitives : $F(x) = (\text{une primitive}) + C$ .
Remplacer dans la condition initiale (par exemple calculer $F(0)$ ).
Resoudre l’equation obtenue pour trouver la valeur de $C$ .
Reecrire $F$ avec la valeur de $C$ trouvee : c’est la primitive cherchee.

Exemple : trouver la primitive $F$ de $f(x) = 2x$ telle que $F(0) = 5$ .

Forme generale : $F(x) = x^2 + C$ .
Condition : $F(0) = 0^2 + C = C$ , et on veut $F(0) = 5$ , donc $C = 5$ .
Conclusion : $F(x) = x^2 + 5$ .

Exemple guide : remonter de la vitesse a la position

Un chariot demarre a l’origine ( $x = 0$ ) avec une vitesse $v(t) = 4t + 2$ (en m/s), ou $t$ est en secondes. La vitesse est la derivee de la position : $x'(t) = v(t)$ . La position $x$ est donc une primitive de $v$ .

Primitive de $v$ : $x(t) = 4 \times \dfrac{t^2}{2} + 2t + C = 2t^2 + 2t + C$ .
Condition initiale « part de l’origine » : $x(0) = 0$ , donc $0 + 0 + C = 0$ , d’ou $C = 0$ .
La position est $x(t) = 2t^2 + 2t$ . Au bout de $t = 3$ s : $x(3) = 2 \times 9 + 6 = 24$ m.

On a bien remonte la derivee, puis fixe la constante grace a la condition initiale.

Les pièges à éviter

Oublier la constante $C$ : ecrire seulement $F(x) = x^2$ comme « la » primitive de $2x$ est FAUX quand une condition est imposee. VRAI : la forme generale est $F(x) = x^2 + C$ , et c’est la condition initiale qui fixe $C$ .
Confondre derivation et primitive : pour primitiver $x^2$ , ecrire $F(x) = 2x$ est FAUX (ça, c’est la derivee !). VRAI : on augmente l’exposant, $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ , et on verifie $F'(x) = x^2$ .
Diviser par le mauvais exposant : pour $x^3$ , ecrire $\dfrac{x^4}{3}$ est FAUX. VRAI : on divise par le nouvel exposant, $\dfrac{x^4}{4}$ .
Mal appliquer la condition : il faut remplacer $x$ par la valeur de la condition dans la forme avec $C$ , pas dans une primitive ou $C$ a deja ete oublie.

Le bon réflexe : toujours vérifier en dérivant

Une primitive se verifie toujours : si tu derives ton resultat $F$ et que tu retrouves $f$ , c’est gagne. C’est le moyen le plus sur de ne pas se tromper de sens (derivation au lieu de primitive) ni d’exposant.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Trouver une primitive d'un polynome

Soit $f$ la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ . Determiner une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

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Verifier une primitive par derivation

Soit $f$ la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 - 10x + 2$ , et soit $F$ la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = x^3 - 5x^2 + 2x$ . Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

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De la vitesse a la position d'un chariot

Sur une ligne de production, un chariot motorise se deplace en ligne droite. A l'instant $t$ (en secondes), sa vitesse est $v(t) = 6t + 5$ (en m/s). On note $x(t)$ sa position (en metres) sur le rail. Le chariot part du point de reference, donc $x(0) = 0$ . La vitesse est la derivee de la position : $x'(t) = v(t)$ . Determiner $x(t)$ , puis calculer la position du chariot au bout de $4$ secondes.

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Forme generale des primitives

Pour une appli de streaming, un developpeur modelise la vitesse a laquelle augmente le nombre d'abonnes par la fonction $f$ definie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 12x^3 - 5$ , ou $x$ est le temps (en semaines). Il veut retrouver toutes les fonctions $F$ dont la derivee est $f$ , c'est-a-dire toutes les primitives de $f$ . Donner la forme generale des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ , puis verifier le resultat en derivant.

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Intensite d'un capteur avec condition initiale

Dans le circuit d'un capteur, on sait que la vitesse de variation de l'intensite $i$ (en mA) est donnee, a l'instant $t$ (en secondes), par $i'(t) = 3t^2 - 4$ . Une mesure indique qu'a l'instant $t = 1$ s, l'intensite vaut $i(1) = 5$ mA. Determiner l'expression de $i(t)$ , puis calculer l'intensite a l'instant $t = 3$ s.

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Donnees cumulees envoyees par un serveur

Un serveur de streaming envoie de la video. Son debit, a l'instant $t$ (en minutes), est modelise par $d(t) = 0{,}6t^2 - 3t + 6$ (en Go par minute), pour $0 \leqslant t \leqslant 6$ . On note $V(t)$ la quantite totale de donnees (en Go) deja envoyee a l'instant $t$ . Le debit est la vitesse a laquelle ce total augmente, donc $V'(t) = d(t)$ . Au demarrage, rien n'a encore ete envoye : $V(0) = 0$ . Determiner $V(t)$ , puis calculer la quantite de donnees envoyee au bout de $5$ minutes.

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Primitive avec inverse et racine carree

Dans l'etude d'un capteur, on travaille sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ avec la fonction $f$ definie par $f(x) = \dfrac{6}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + 2x.$ On cherche la primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ qui verifie la condition $F(1) = 3$ . Determiner cette primitive $F$ .

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Bonus

Volume d'eau cumule par une pompe

Une pompe transvase de l'eau d'une cuve vers une autre. Son debit, a l'instant $t$ (en secondes), est modelise par $d(t) = 0{,}9t^2 - 6t + 12$ (en litres par seconde), pour $0 \leqslant t \leqslant 8$ . On note $V(t)$ le volume d'eau (en litres) deja transvase a l'instant $t$ . Le debit est la vitesse a laquelle le volume augmente, donc $V'(t) = d(t)$ . Au demarrage, aucun volume n'a encore ete transvase : $V(0) = 0$ . Determiner $V(t)$ , puis calculer le volume transvase au bout de $5$ secondes.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction ?

Une primitive d'une fonction f sur un intervalle est une fonction F dont la dérivée est égale à f. Autrement dit, chercher une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation : on connaît la dérivée et on remonte à la fonction de départ. Par exemple, une primitive de f définie par f de x égale 2 x est la fonction F définie par F de x égale x au carré, car la dérivée de x au carré vaut bien 2 x.

Pourquoi une fonction a-t-elle plusieurs primitives ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle. Si F est une primitive de f, alors F plus n'importe quelle constante est encore une primitive de f, puisqu'on lui ajoute quelque chose dont la dérivée vaut zéro. Une fonction continue admet donc une infinité de primitives, qui ne diffèrent toutes que d'une constante. On appelle cette constante la constante d'intégration.

Comment trouver la primitive qui passe par un point donné ?

On écrit d'abord la forme générale des primitives, c'est-à-dire une primitive trouvée plus une constante notée C. Ensuite on utilise la condition initiale, par exemple la valeur de la fonction à un instant donné, pour calculer la valeur exacte de C. Cette condition fixe une seule primitive parmi toutes les primitives possibles.