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Rêves Vision
Première STI2D

Verifier une primitive par derivation

Énoncé

Soit ff la fonction definie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2−10x+2f(x) = 3x^2 - 10x + 2, et soit FF la fonction definie sur R\mathbb{R} par F(x)=x3−5x2+2xF(x) = x^3 - 5x^2 + 2x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Rappeler la definition a utiliser

    Par definition, FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R} lorsque FF est derivable et que, pour tout xx : F′(x)=f(x).F'(x) = f(x). Il suffit donc de deriver FF et de comparer le resultat a ff.

  2. 2. Deriver F terme par terme

    La derivee de x3x^3 est 3x23x^2, la derivee de −5x2-5x^2 est −5×2x=−10x-5 \times 2x = -10x, et la derivee de 2x2x est 22. On obtient donc : F′(x)=3x2−10x+2.F'(x) = 3x^2 - 10x + 2.

  3. 3. Comparer a f et conclure

    On constate que F′(x)=3x2−10x+2=f(x)F'(x) = 3x^2 - 10x + 2 = f(x) pour tout reel xx. La condition de la definition est verifiee. Comme F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) pour tout xx, la fonction FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.
Réponse finale
F′(x)=3x2−10x+2=f(x)donc F est une primitive de fF'(x) = 3x^2 - 10x + 2 = f(x) \quad \text{donc } F \text{ est une primitive de } f
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