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Rêves Vision
Première STI2D

Forme generale des primitives

Énoncé

Pour une appli de streaming, un developpeur modelise la vitesse a laquelle augmente le nombre d'abonnes par la fonction ff definie sur R\mathbb{R} par f(x)=12x3−5f(x) = 12x^3 - 5, ou xx est le temps (en semaines). Il veut retrouver toutes les fonctions FF dont la derivee est ff, c'est-a-dire toutes les primitives de ff. Donner la forme generale des primitives de ff sur R\mathbb{R}, puis verifier le resultat en derivant.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Comprendre ce que veut dire 'toutes les primitives'

    Une primitive FF de ff verifie F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). D'apres le cours, si FF est une primitive de ff, alors toutes les autres s'ecrivent F(x)+CF(x) + C, ou CC est un reel quelconque appele constante d'integration. La forme generale doit donc se terminer par + C+\,C.

  2. 2. Primitiver chaque terme

    On primitive terme par terme : pour primitiver xnx^n, on augmente l'exposant de 1 puis on divise par le nouvel exposant. Une primitive de 12x312x^3 est 12×x44=3x412 \times \dfrac{x^4}{4} = 3x^4. Une primitive de la constante −5-5 est −5x-5x.

  3. 3. Ecrire la forme generale

    D'apres la regle sur la primitive d'une somme, on assemble les deux termes et on ajoute la constante d'integration : F(x)=3x4−5x+C,F(x) = 3x^4 - 5x + C, ou CC est un reel quelconque. Cette ecriture decrit bien toutes les primitives de ff.

  4. 4. Verifier en derivant

    On controle en derivant la forme trouvee : F′(x)=3×4x3−5+0=12x3−5=f(x).F'(x) = 3 \times 4x^3 - 5 + 0 = 12x^3 - 5 = f(x). La derivee de la constante CC est nulle, donc elle n'apparait pas : c'est pour cela que toutes ces fonctions ont la meme derivee ff. Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions F(x)=3x4−5x+CF(x) = 3x^4 - 5x + C, avec CC un reel quelconque.
Réponse finale
F(x)=3x4−5x+C(C∈R)F(x) = 3x^4 - 5x + C \quad (C \in \mathbb{R})
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