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Rêves Vision
Première STI2D

Intensite d'un capteur avec condition initiale

Énoncé

Dans le circuit d'un capteur, on sait que la vitesse de variation de l'intensite ii (en mA) est donnee, a l'instant tt (en secondes), par i′(t)=3t2−4i'(t) = 3t^2 - 4. Une mesure indique qu'a l'instant t=1t = 1 s, l'intensite vaut i(1)=5i(1) = 5 mA. Determiner l'expression de i(t)i(t), puis calculer l'intensite a l'instant t=3t = 3 s.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. On te donne i′(t)i'(t), donc la derivee de l'intensite : pour retrouver i(t)i(t), cherche une primitive.
  2. La forme generale est i(t)=t3−4t+Ci(t) = t^3 - 4t + C. La constante CC n'est pas encore connue.
  3. La condition i(1)=5i(1) = 5 sert a calculer CC : remplace tt par 11 et resous l'equation.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier le travail a faire

    On connait i′(t)=3t2−4i'(t) = 3t^2 - 4, c'est-a-dire la derivee de l'intensite. Pour retrouver i(t)i(t), on cherche donc une primitive de la fonction t↦3t2−4t \mapsto 3t^2 - 4.

  2. 2. Ecrire la forme generale des primitives

    On primitive terme par terme : une primitive de 3t23t^2 est 3×t33=t33 \times \frac{t^3}{3} = t^3, et une primitive de la constante −4-4 est −4t-4t. La forme generale est donc : i(t)=t3−4t+C,i(t) = t^3 - 4t + C, ou CC est la constante d'integration.

  3. 3. Determiner C grace a la condition initiale

    On utilise la mesure i(1)=5i(1) = 5. On remplace tt par 11 dans la forme generale : i(1)=13−4×1+C=1−4+C=−3+C.i(1) = 1^3 - 4 \times 1 + C = 1 - 4 + C = -3 + C. On veut i(1)=5i(1) = 5, donc −3+C=5-3 + C = 5, d'ou on en deduit que C=8C = 8. Ainsi i(t)=t3−4t+8.i(t) = t^3 - 4t + 8.

  4. 4. Calculer l'intensite a t = 3 s

    On remplace tt par 33 : i(3)=33−4×3+8=27−12+8=23i(3) = 3^3 - 4 \times 3 + 8 = 27 - 12 + 8 = 23 mA. L'intensite vaut i(t)=t3−4t+8i(t) = t^3 - 4t + 8, et a l'instant t=3t = 3 s elle est egale a 2323 mA.
Réponse finale
i(t)=t3−4t+8eti(3)=23 mAi(t) = t^3 - 4t + 8 \quad \text{et} \quad i(3) = 23 \ \text{mA}
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