Primitive avec inverse et racine carree

On reconnait trois termes du tableau des primitives usuelles. D'apres le cours, une primitive de $\dfrac{1}{x^2}$ est $-\dfrac{1}{x}$, une primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est $2\sqrt{x}$, et une primitive de $x$ est $\dfrac{x^2}{2}$. On va primitiver chaque terme separement.

On sort les coefficients et on applique le tableau. Une primitive de $\dfrac{6}{x^2} = 6 \times \dfrac{1}{x^2}$ est $6 \times \left(-\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{6}{x}$. Une primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est $2\sqrt{x}$. Une primitive de $2x$ est $2 \times \dfrac{x^2}{2} = x^2$.

D'apres la regle sur la primitive d'une somme, on additionne les primitives de chaque terme et on ajoute la constante d'integration : $F(x) = -\dfrac{6}{x} + 2\sqrt{x} + x^2 + C.$

On remplace $x$ par $1$ dans la forme generale. Comme $\sqrt{1} = 1$ et $1^2 = 1$, on obtient : $F(1) = -\dfrac{6}{1} + 2 \times 1 + 1 + C = -6 + 2 + 1 + C = -3 + C.$ On veut $F(1) = 3$, donc $-3 + C = 3$, d'ou on en deduit que $C = 6$.

On remplace $C$ par $6$ : $F(x) = -\dfrac{6}{x} + 2\sqrt{x} + x^2 + 6.$ On verifie en derivant : $\left(-\dfrac{6}{x}\right)' = \dfrac{6}{x^2}$, $\left(2\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, $\left(x^2\right)' = 2x$, et la derivee de $6$ est nulle. On retrouve $F'(x) = \dfrac{6}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + 2x = f(x)$, et $F(1) = 3$. La primitive cherchee est $F(x) = -\dfrac{6}{x} + 2\sqrt{x} + x^2 + 6$.