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Rêves Vision
Première STI2D

Batteries de deux fournisseurs : taux de défaut et origine d'un défaut

Énoncé

Un fabricant de trottinettes électriques assemble des batteries provenant de deux fournisseurs. Le fournisseur A livre 65 %65\,\% des batteries (événement AA), le fournisseur B le reste (événement A‾\overline{A}). Une batterie du fournisseur A présente un défaut d'autonomie (événement DD) avec une probabilité de 0,020{,}02 ; une batterie du fournisseur B présente ce défaut avec une probabilité de 0,060{,}06. 1) Calculer le taux de défaut global P(D)P(D). 2) Un atelier reçoit une batterie défectueuse ; calculer la probabilité qu'elle vienne du fournisseur B, c'est-à-dire PD(A‾)P_D(\overline{A}). Arrondir au millième.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dessine l'arbre : premier niveau pour le fournisseur (AA et A‾\overline{A}), second niveau pour le défaut (DD et D‾\overline{D}).
  2. Pour la question 1, additionne les deux chemins qui mènent à DD : P(D)=P(A) PA(D)+P(A‾) PA‾(D)P(D) = P(A)\,P_A(D) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(D).
  3. Pour la question 2, tu conditionnes par DD : applique PD(A‾)=P(A‾∩D)P(D)P_D(\overline{A}) = \dfrac{P(\overline{A} \cap D)}{P(D)} avec les valeurs déjà calculées.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire l'énoncé et construire l'arbre

    Premier niveau, le fournisseur : P(A)=0,65P(A) = 0{,}65 donc P(A‾)=1−0,65=0,35.P(\overline{A}) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35. Second niveau, le défaut : PA(D)=0,02P_A(D) = 0{,}02 (fournisseur A) et PA‾(D)=0,06P_{\overline{A}}(D) = 0{,}06 (fournisseur B).

  2. 2. Calculer la probabilité de chaque chemin vers un défaut

    Le long d'une branche, on multiplie. Chemin A→DA \to D : P(A∩D)=P(A)×PA(D)=0,65×0,02=0,013.P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0{,}65 \times 0{,}02 = 0{,}013. Chemin A‾→D\overline{A} \to D : P(A‾∩D)=P(A‾)×PA‾(D)=0,35×0,06=0,021.P(\overline{A} \cap D) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(D) = 0{,}35 \times 0{,}06 = 0{,}021.

  3. 3. Appliquer la formule des probabilités totales

    Une batterie défectueuse vient soit de A, soit de B : on additionne les deux chemins. P(D)=P(A∩D)+P(A‾∩D)=0,013+0,021=0,034.P(D) = P(A \cap D) + P(\overline{A} \cap D) = 0{,}013 + 0{,}021 = 0{,}034. Le taux de défaut global vaut 0,0340{,}034, soit 3,4 %3{,}4\,\%.

  4. 4. Calculer la probabilité conditionnelle demandée

    On cherche PD(A‾)P_D(\overline{A}) : « venir de B sachant que la batterie est défectueuse ». On conditionne par DD, donc on divise par P(D)P(D). D'après la formule : PD(A‾)=P(A‾∩D)P(D)=0,0210,034.P_D(\overline{A}) = \dfrac{P(\overline{A} \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}021}{0{,}034}.

  5. 5. Conclure et interpréter

    PD(A‾)=0,0210,034=2134≈0,618.P_D(\overline{A}) = \dfrac{0{,}021}{0{,}034} = \dfrac{21}{34} \approx 0{,}618. Bien que le fournisseur B ne livre que 35 %35\,\% des batteries, son taux de défaut plus élevé fait que près de 61,8 %61{,}8\,\% des batteries défectueuses proviennent du fournisseur B.
Réponse finale
P(D)=0,65×0,02+0,35×0,06=0,034;PD(A‾)=0,0210,034=2134≈0,618P(D) = 0{,}65 \times 0{,}02 + 0{,}35 \times 0{,}06 = 0{,}034 \quad ; \quad P_D(\overline{A}) = \dfrac{0{,}021}{0{,}034} = \dfrac{21}{34} \approx 0{,}618
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