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Rêves Vision
Première STI2D

Tester l'indépendance entre panne d'un capteur et surtension

Énoncé

Sur un banc d'essai, on enregistre 10001000 relevés. On note AA l'événement « le capteur est en panne » et BB l'événement « il y a une surtension ». Le tableau croisé donne : 3030 relevés avec panne et surtension, 150150 relevés avec panne au total, 200200 relevés avec surtension au total. Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Transforme d'abord chaque effectif en probabilité en divisant par 10001000.
  2. Le test d'indépendance compare deux nombres : P(A∩B)P(A \cap B) d'un côté, P(A)×P(B)P(A) \times P(B) de l'autre.
  3. S'ils sont égaux, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer les probabilités à partir des effectifs

    On divise chaque effectif par le nombre total de relevés : P(A)=1501000=0,15P(A) = \dfrac{150}{1000} = 0{,}15, P(B)=2001000=0,2P(B) = \dfrac{200}{1000} = 0{,}2 et P(A∩B)=301000=0,03.P(A \cap B) = \dfrac{30}{1000} = 0{,}03.

  2. 2. Calculer le produit des probabilités

    Si AA et BB étaient indépendants, on aurait P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B). On calcule le produit : P(A)×P(B)=0,15×0,2=0,03.P(A) \times P(B) = 0{,}15 \times 0{,}2 = 0{,}03.

  3. 3. Comparer

    On compare les deux quantités : P(A∩B)=0,03P(A \cap B) = 0{,}03 et P(A)×P(B)=0,03.P(A) \times P(B) = 0{,}03. Elles sont égales.

  4. 4. Conclure

    Puisque P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B), la condition d'indépendance est vérifiée. Les événements AA (panne du capteur) et BB (surtension) sont indépendants : une surtension n'augmente pas le risque de panne du capteur.
Réponse finale
P(A∩B)=0,03=0,15×0,2=P(A)×P(B) ⇒ A et B sont indeˊpendantsP(A \cap B) = 0{,}03 = 0{,}15 \times 0{,}2 = P(A) \times P(B) \ \Rightarrow \ A \text{ et } B \text{ sont ind\'ependants}
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