Aller au contenu
Rêves Vision
Première STI2D

Test d'étanchéité : un boîtier signalé non étanche l'est-il vraiment ?

Énoncé

Sur une chaîne d'assemblage de boîtiers électroniques étanches, un test automatique vérifie l'étanchéité. Un boîtier est réellement non étanche (événement DD) avec une probabilité de 0,040{,}04. Le test signale une fuite (événement TT). Le test n'est pas parfait : si le boîtier est non étanche, il signale une fuite avec une probabilité PD(T)=0,95P_D(T) = 0{,}95 ; si le boîtier est étanche, il signale quand même une fuite par erreur avec une probabilité PD‾(T)=0,08P_{\overline{D}}(T) = 0{,}08. Un boîtier vient d'être signalé non étanche par le test. Quelle est la probabilité qu'il le soit réellement, c'est-à-dire PT(D)P_T(D) ? Arrondir au millième.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dessine un arbre à deux niveaux : d'abord l'état réel (DD et D‾\overline{D}), puis le verdict du test (TT et T‾\overline{T}).
  2. La question demande PT(D)P_T(D), pas PD(T)P_D(T) : on conditionne par le verdict du test, donc on divisera par P(T)P(T).
  3. Calcule P(T)P(T) avec la formule des probabilités totales (les deux chemins qui mènent à TT), puis applique PT(D)=P(D∩T)P(T)P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Construire l'arbre et lire les données

    Premier niveau, l'état réel : P(D)=0,04P(D) = 0{,}04 donc P(D‾)=1−0,04=0,96.P(\overline{D}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96. Second niveau, le verdict du test : PD(T)=0,95P_D(T) = 0{,}95 (vrai positif) et PD‾(T)=0,08P_{\overline{D}}(T) = 0{,}08 (faux positif).

  2. 2. Calculer la probabilité d'un vrai positif

    Le chemin « non étanche puis signalé » a pour probabilité, en multipliant le long de la branche : P(D∩T)=P(D)×PD(T)=0,04×0,95=0,038.P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0{,}04 \times 0{,}95 = 0{,}038.

  3. 3. Calculer la probabilité totale d'être signalé

    Le test peut signaler une fuite de deux façons : à juste titre (chemin D→TD \to T) ou par erreur (chemin D‾→T\overline{D} \to T). D'après la formule des probabilités totales : P(T)=P(D) PD(T)+P(D‾) PD‾(T)=0,038+0,96×0,08.P(T) = P(D)\,P_D(T) + P(\overline{D})\,P_{\overline{D}}(T) = 0{,}038 + 0{,}96 \times 0{,}08. Or 0,96×0,08=0,07680{,}96 \times 0{,}08 = 0{,}0768, donc P(T)=0,038+0,0768=0,1148.P(T) = 0{,}038 + 0{,}0768 = 0{,}1148.

  4. 4. Appliquer la formule de la probabilité conditionnelle

    On cherche PT(D)P_T(D), « réellement non étanche sachant que le test l'a signalé ». Attention à ne pas la confondre avec PD(T)P_D(T) : ici on conditionne par le verdict, donc on divise par P(T)P(T). PT(D)=P(D∩T)P(T)=0,0380,1148.P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}038}{0{,}1148}.

  5. 5. Calculer et interpréter

    PT(D)=0,0380,1148≈0,331.P_T(D) = \dfrac{0{,}038}{0{,}1148} \approx 0{,}331. Résultat contre-intuitif : alors que le test paraît fiable, un boîtier signalé non étanche ne l'est réellement que dans environ 33,1 %33{,}1\,\% des cas. En effet, les boîtiers non étanches sont rares (4 %4\,\%), donc les fausses alertes (sur les 96 %96\,\% de boîtiers sains) restent nombreuses ; en pratique, on confirme donc chaque alerte par un second contrôle.
Réponse finale
PT(D)=P(D∩T)P(T)=0,04×0,950,04×0,95+0,96×0,08=0,0380,1148≈0,331P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}04 \times 0{,}95}{0{,}04 \times 0{,}95 + 0{,}96 \times 0{,}08} = \dfrac{0{,}038}{0{,}1148} \approx 0{,}331
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Probabilités conditionnelles ← Retour au cours

À suivre