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Rêves Vision
Première STI2D

Angle entre deux barres d'une structure métallique

Énoncé

Dans un treillis métallique, deux barres partent du même nœud. Dans un repère orthonormé du plan, elles sont portées par les vecteurs u⃗ (4 ; 3)\vec{u}\,(4\,;\,3) et v⃗ (1 ; 7)\vec{v}\,(1\,;\,7). Déterminer la mesure de l'angle θ\theta formé par les deux barres.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Tu as les coordonnées : calcule séparément le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les deux normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
  2. Relie les deux expressions du produit scalaire pour isoler le cosinus : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}.
  3. Tu devrais trouver cos⁡θ=22\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. C'est une valeur remarquable : à quel angle célèbre correspond-elle ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer le produit scalaire

    Avec les coordonnées, u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′=4×1+3×7=4+21=25.\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y' = 4 \times 1 + 3 \times 7 = 4 + 21 = 25.

  2. 2. Calculer les deux normes

    On applique ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} à chaque vecteur. Pour u⃗\vec{u} : ∥u⃗∥=42+32=16+9=25=5.\|\vec{u}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. Pour v⃗\vec{v} : ∥v⃗∥=12+72=1+49=50=52.\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.

  3. 3. Isoler le cosinus de l'angle

    On sait aussi que u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta. On en déduit que cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥=255×52=25252=12=22.\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{25}{5 \times 5\sqrt{2}} = \dfrac{25}{25\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

  4. 4. Conclure sur l'angle

    On cherche l'angle θ\theta compris entre 0°0° et 180°180° dont le cosinus vaut 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}. C'est une valeur remarquable : cos⁡45°=22\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, donc θ=45°\theta = 45°. Les deux barres forment un angle de 45°45°.
Réponse finale
cos⁡θ=255×52=22 ⇒ θ=45°\cos\theta = \dfrac{25}{5 \times 5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow\ \theta = 45°
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