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Rêves Vision

Première STI2D · Chapitre 8

Produit scalaire

Cours de Première STI2D sur le produit scalaire dans le plan : définition avec le cosinus et expression analytique, orthogonalité, norme, angle et projeté. Applications mécaniques, exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En STI2D, dès que tu étudies une force, un déplacement ou une structure, tu as besoin d’un outil qui relie deux directions : le produit scalaire. Il transforme deux vecteurs en un simple nombre qui mesure à quel point ils « tirent dans le même sens ». C’est lui qui se cache derrière le travail d’une force, le test de perpendicularité de deux câbles, ou le calcul de la part utile d’un effort sur un plan incliné.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

  • calculer un produit scalaire à partir des coordonnées de deux vecteurs ;
  • calculer un produit scalaire à partir des normes et de l’angle (u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta) ;
  • montrer que deux vecteurs sont orthogonaux (produit scalaire nul) ;
  • calculer la norme d’un vecteur et l’angle entre deux vecteurs ;
  • utiliser le projeté orthogonal pour trouver la composante utile d’une force.

À quoi ça sert ?

Pousse un chariot bien à plat devant toi : tout ton effort sert à le faire avancer. Pousse-le maintenant vers le bas, en biais : une partie de ta force est « perdue » contre le sol, seule l’autre partie le fait avancer. Le produit scalaire, c’est exactement l’outil qui mesure cette part utile.

En projet STI2D, tu t’en sers pour calculer le travail d’un vérin, vérifier que deux haubans sont bien perpendiculaires, trouver l’angle entre deux barres d’un treillis, ou répartir le poids d’un panneau solaire posé sur un toit incliné. Un seul outil, plein de situations.

Norme d'un vecteur

La norme d’un vecteur u⃗\vec{u}, notée ∥u⃗∥\|\vec{u}\|, est sa longueur. Dans un repère orthonormé, si u⃗\vec{u} a pour coordonnées (x ; y)(x\,;\,y), alors : ∥u⃗∥=x2+y2.\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}.

C’est tout simplement le théorème de Pythagore appliqué au vecteur. La norme est toujours positive ou nulle, et elle s’exprime dans l’unité de longueur du repère (m, cm…).

Produit scalaire (avec le cosinus)

Soit deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, et θ\theta l’angle qu’ils forment (entre 0°0° et 180°180°). Le produit scalaire de u⃗\vec{u} par v⃗\vec{v} est le nombre : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ.\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta.

Par convention, si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 00.

Le résultat est un nombre réel (pas un vecteur), qui peut être positif, négatif ou nul. On le note avec un point au centre : u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, et il se lit « u⃗\vec{u} scalaire v⃗\vec{v} ».

Signe du produit scalaire

Comme les normes sont positives, le signe du produit scalaire est celui de cos⁡θ\cos\theta :

  • si l’angle est aigu (θ<90°\theta < 90°), alors cos⁡θ>0\cos\theta > 0 et u⃗⋅v⃗>0\vec{u} \cdot \vec{v} > 0 (les vecteurs « vont dans le même sens ») ;
  • si l’angle est droit (θ=90°\theta = 90°), alors cos⁡θ=0\cos\theta = 0 et u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 ;
  • si l’angle est obtus (θ>90°\theta > 90°), alors cos⁡θ<0\cos\theta < 0 et u⃗⋅v⃗<0\vec{u} \cdot \vec{v} < 0.

Expression analytique (avec les coordonnées)

Dans un repère orthonormé, si u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y'), alors : u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′.\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.

C’est la formule la plus rapide à utiliser quand on connaît les coordonnées : on multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis on additionne.

En particulier, le produit scalaire d’un vecteur par lui-même redonne le carré de sa norme : u⃗⋅u⃗=x2+y2=∥u⃗∥2.\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2 = \|\vec{u}\|^2.

Calculer un produit scalaire

Soit u⃗ (5 ; −2)\vec{u}\,(5\,;\,-2) et v⃗ (4 ; 7)\vec{v}\,(4\,;\,7) dans un repère orthonormé.

u⃗⋅v⃗=5×4+(−2)×7=20−14=6.\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 4 + (-2) \times 7 = 20 - 14 = 6.

Le produit scalaire vaut 66. Il est positif : l’angle entre les deux vecteurs est donc aigu.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux (c’est-à-dire perpendiculaires quand ils sont non nuls) lorsque leur produit scalaire est nul : u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

C’est logique : si l’angle vaut 90°90°, alors cos⁡90°=0\cos 90° = 0, donc le produit scalaire est nul.

Tester si deux vecteurs sont orthogonaux

On connaît les coordonnées de u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y').

  1. Calculer le produit scalaire : u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.
  2. Comparer le résultat à 00 :
    • s’il vaut 00, les vecteurs sont orthogonaux ;
    • sinon, ils ne sont pas orthogonaux.

Exemple : u⃗ (3 ; 4)\vec{u}\,(3\,;\,4) et v⃗ (8 ; −6)\vec{v}\,(8\,;\,-6) donnent u⃗⋅v⃗=3×8+4×(−6)=24−24=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 8 + 4 \times (-6) = 24 - 24 = 0, donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux.

Travail d'une force

En physique, le travail d’une force constante F⃗\vec{F} dont le point d’application se déplace de d⃗\vec{d} est le produit scalaire : W=F⃗⋅d⃗=∥F⃗∥×∥d⃗∥×cos⁡θ,W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \|\vec{F}\| \times \|\vec{d}\| \times \cos\theta,

où θ\theta est l’angle entre la force et le déplacement. La force se mesure en newtons (N), le déplacement en mètres (m), et le travail en joules (J).

Si la force est perpendiculaire au déplacement, alors θ=90°\theta = 90° et le travail est nul : la force ne « fait rien avancer ».

Calculer l'angle entre deux vecteurs

On veut l’angle θ\theta entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, connaissant leurs coordonnées.

  1. Calculer le produit scalaire avec les coordonnées : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'.
  2. Calculer les deux normes : ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} et ∥v⃗∥=x′2+y′2\|\vec{v}\| = \sqrt{x'^2 + y'^2}.
  3. Égaler les deux expressions du produit scalaire pour isoler le cosinus : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥.\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}.
  4. En déduire l’angle θ\theta (touche cos⁡−1\cos^{-1} ou arccos⁡\arccos de la calculatrice).

Projeté orthogonal et composante utile

Décomposer un vecteur F⃗\vec{F} « le long » d’une direction donnée par un vecteur unitaire u⃗\vec{u} (c’est-à-dire ∥u⃗∥=1\|\vec{u}\| = 1), c’est calculer son projeté orthogonal sur cette direction. La mesure de cette composante est exactement : F⃗⋅u⃗=∥F⃗∥×cos⁡θ.\vec{F} \cdot \vec{u} = \|\vec{F}\| \times \cos\theta.

C’est l’outil idéal pour répondre à la question : « quelle part de cette force agit dans telle direction ? », par exemple la part du poids qui fait glisser un objet le long d’un plan incliné.

Les pièges à éviter

  • Croire que le résultat est un vecteur. FAUX : écrire « u⃗⋅v⃗=w⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{w} ». VRAI : un produit scalaire est un nombre (u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6), sans flèche.
  • Confondre le point et la multiplication des normes. FAUX : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|. VRAI : il faut le cosinus de l’angle : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta (l’égalité sans cosinus n’est vraie que si θ=0°\theta = 0°).
  • Multiplier les coordonnées en croix. FAUX : u⃗⋅v⃗=x×y′+y×x′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times y' + y \times x'. VRAI : on multiplie abscisse par abscisse et ordonnée par ordonnée : u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.
  • Oublier le signe des coordonnées. Une coordonnée négative reste négative dans le calcul : avec u⃗ (5 ; −2)\vec{u}\,(5\,;\,-2) et v⃗ (4 ; 7)\vec{v}\,(4\,;\,7), le second produit est (−2)×7=−14(-2) \times 7 = -14, pas +14+14.

Le bon réflexe

Tu as deux façons de calculer un produit scalaire ; choisis selon ce qu’on te donne :

  • on te donne des coordonnées ? Utilise u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' (rapide, sans angle).
  • on te donne des normes et un angle (souvent en mécanique : une force, un déplacement) ? Utilise u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta.

Et pour l’orthogonalité, un seul test à retenir : produit scalaire nul   ⟺  \iff perpendiculaires.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs u⃗ (5 ; −2)\vec{u}\,(5\,;\,-2) et v⃗ (4 ; 7)\vec{v}\,(4\,;\,7). Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis préciser si l'angle entre les deux vecteurs est aigu, droit ou obtus.

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Deux câbles de haubanage sont-ils perpendiculaires

Sur un mât de levage, deux câbles de haubanage partent du même point d'ancrage. Dans un repère orthonormé du plan (unité : le mètre), ils sont portés par les vecteurs u⃗ (3 ; 4)\vec{u}\,(3\,;\,4) et v⃗ (8 ; −6)\vec{v}\,(8\,;\,-6). Le bureau d'études affirme que les deux câbles sont perpendiculaires. A-t-il raison ?

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Produit scalaire négatif et angle obtus

Sur un robot suiveur de ligne, deux capteurs envoient chacun un vecteur de correction de trajectoire. Dans un repère orthonormé du plan, ces vecteurs sont u⃗ (6 ; −5)\vec{u}\,(6\,;\,-5) et v⃗ (−4 ; 2)\vec{v}\,(-4\,;\,2). Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis indiquer si l'angle entre les deux corrections est aigu, droit ou obtus.

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Angle entre deux barres d'une structure métallique

Dans un treillis métallique, deux barres partent du même nœud. Dans un repère orthonormé du plan, elles sont portées par les vecteurs u⃗ (4 ; 3)\vec{u}\,(4\,;\,3) et v⃗ (1 ; 7)\vec{v}\,(1\,;\,7). Déterminer la mesure de l'angle θ\theta formé par les deux barres.

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Travail d'une force le long d'un déplacement

Sur une chaîne de manutention, un opérateur tire une caisse à l'aide d'une sangle. La force F⃗\vec{F} a une intensité de 200200 N et fait un angle de 30°30° avec le sol horizontal. La caisse avance horizontalement d'un déplacement d⃗\vec{d} de 1515 m. Calculer le travail WW de la force F⃗\vec{F} sur ce déplacement. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de joule.

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Trouver une coordonnée pour rendre deux câbles perpendiculaires

Dans l'atelier, un technicien règle deux tiges métalliques pour qu'elles soient perpendiculaires. Dans un repère orthonormé du plan (unité : le centimètre), la première tige est portée par le vecteur u⃗ (8 ; y)\vec{u}\,(8\,;\,y), où yy est encore à régler, et la seconde par v⃗ (6 ; −4)\vec{v}\,(6\,;\,-4). Déterminer la valeur de yy pour laquelle les deux tiges sont perpendiculaires.

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Angle entre deux bras d'un robot avec arccos

Sur un bras robotisé de l'atelier, deux segments articulés partent du même axe. Dans un repère orthonormé du plan, ils sont portés par les vecteurs u⃗ (7 ; 2)\vec{u}\,(7\,;\,2) et v⃗ (3 ; 5)\vec{v}\,(3\,;\,5). Déterminer la valeur exacte de cos⁡θ\cos\theta, où θ\theta est l'angle formé par les deux segments, puis donner la mesure de θ\theta arrondie au centième de degré.

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Bonus

Décomposer le poids d'un panneau solaire sur un toit incliné

Un panneau solaire est posé sur un toit incliné à 30°30° par rapport à l'horizontale. Son poids P⃗\vec{P} a une intensité de 300300 N et pointe verticalement vers le bas. On veut connaître la composante du poids dirigée le long de la pente (vers le bas du toit) : c'est elle qui tend à faire glisser le panneau, donc la part utile pour dimensionner les fixations. On se place dans un repère orthonormé où l'axe horizontal pointe vers la droite et l'axe vertical vers le haut. Calculer la mesure de cette composante.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment calculer un produit scalaire avec les coordonnées ?
Dans un repère orthonormé, si le vecteur u a pour coordonnées x et y, et le vecteur v a pour coordonnées x prime et y prime, alors le produit scalaire de u par v est égal à x multiplié par x prime, plus y multiplié par y prime. Le résultat est un nombre, pas un vecteur.
Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux exactement lorsque leur produit scalaire est nul. Il suffit donc de calculer le produit scalaire des deux vecteurs : s'il vaut zéro, les vecteurs sont perpendiculaires ; sinon ils ne le sont pas.
À quoi sert le produit scalaire en STI2D ?
Le produit scalaire sert surtout en mécanique. Il permet de calculer le travail d'une force le long d'un déplacement, de mesurer l'angle entre deux barres d'une structure, de tester si deux câbles sont perpendiculaires, ou de décomposer une force pour n'en garder que la part utile.