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Rêves Vision
Première STI2D

Produit scalaire négatif et angle obtus

Énoncé

Sur un robot suiveur de ligne, deux capteurs envoient chacun un vecteur de correction de trajectoire. Dans un repère orthonormé du plan, ces vecteurs sont u⃗ (6 ; −5)\vec{u}\,(6\,;\,-5) et v⃗ (−4 ; 2)\vec{v}\,(-4\,;\,2). Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis indiquer si l'angle entre les deux corrections est aigu, droit ou obtus.

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  1. 1. Choisir la bonne formule

    On connaît les coordonnées des deux vecteurs dans un repère orthonormé, on utilise donc l'expression analytique du produit scalaire : pour u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y'), on a u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′.\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.

  2. 2. Remplacer par les coordonnées

    Ici x=6x = 6, y=−5y = -5, x′=−4x' = -4 et y′=2y' = 2. On en déduit que u⃗⋅v⃗=6×(−4)+(−5)×2.\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times (-4) + (-5) \times 2.

  3. 3. Effectuer les calculs

    On calcule chaque produit en respectant les signes : 6×(−4)=−246 \times (-4) = -24 et (−5)×2=−10(-5) \times 2 = -10. Donc u⃗⋅v⃗=−24+(−10)=−24−10=−34.\vec{u} \cdot \vec{v} = -24 + (-10) = -24 - 10 = -34.

  4. 4. Interpréter le signe

    Le produit scalaire vaut −34-34, c'est un nombre strictement négatif. Or le signe du produit scalaire est celui de cos⁡θ\cos\theta : comme u⃗⋅v⃗<0\vec{u} \cdot \vec{v} < 0, on a cos⁡θ<0\cos\theta < 0, donc l'angle θ\theta est obtus. Le produit scalaire vaut u⃗⋅v⃗=−34\vec{u} \cdot \vec{v} = -34 et l'angle entre les deux corrections est obtus.
Réponse finale
u⃗⋅v⃗=6×(−4)+(−5)×2=−34 (<0, angle obtus)\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times (-4) + (-5) \times 2 = -34 \ (<0,\ \text{angle obtus})
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