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Rêves Vision
Première STI2D

Deux câbles de haubanage sont-ils perpendiculaires

Énoncé

Sur un mât de levage, deux câbles de haubanage partent du même point d'ancrage. Dans un repère orthonormé du plan (unité : le mètre), ils sont portés par les vecteurs u⃗ (3 ; 4)\vec{u}\,(3\,;\,4) et v⃗ (8 ; −6)\vec{v}\,(8\,;\,-6). Le bureau d'études affirme que les deux câbles sont perpendiculaires. A-t-il raison ?

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  1. 1. Traduire la perpendicularité

    Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (donc les câbles perpendiculaires) si, et seulement si, leur produit scalaire est nul : u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Il suffit donc de calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et de regarder s'il vaut 00.

  2. 2. Calculer le produit scalaire

    Avec l'expression analytique u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y', on remplace : u⃗⋅v⃗=3×8+4×(−6).\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 8 + 4 \times (-6).

  3. 3. Terminer le calcul

    On a 3×8=243 \times 8 = 24 et 4×(−6)=−244 \times (-6) = -24. Donc u⃗⋅v⃗=24+(−24)=24−24=0.\vec{u} \cdot \vec{v} = 24 + (-24) = 24 - 24 = 0.

  4. 4. Conclure

    Le produit scalaire des deux vecteurs est nul, donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux. Le bureau d'études a raison : les deux câbles de haubanage sont bien perpendiculaires.
Réponse finale
u⃗⋅v⃗=3×8+4×(−6)=0 ⇒ caˆbles perpendiculaires\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 8 + 4 \times (-6) = 0 \ \Rightarrow\ \text{câbles perpendiculaires}
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