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Rêves Vision
Première STI2D

Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs u⃗ (5 ; −2)\vec{u}\,(5\,;\,-2) et v⃗ (4 ; 7)\vec{v}\,(4\,;\,7). Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis préciser si l'angle entre les deux vecteurs est aigu, droit ou obtus.

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  1. 1. Choisir la bonne formule

    On connaît les coordonnées des deux vecteurs dans un repère orthonormé, on utilise donc l'expression analytique du produit scalaire : pour u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y'), on a u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′.\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.

  2. 2. Remplacer par les coordonnées

    Ici x=5x = 5, y=−2y = -2, x′=4x' = 4 et y′=7y' = 7. On en déduit que u⃗⋅v⃗=5×4+(−2)×7.\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 4 + (-2) \times 7.

  3. 3. Effectuer les calculs

    On calcule chaque produit en respectant les signes : 5×4=205 \times 4 = 20 et (−2)×7=−14(-2) \times 7 = -14. Donc u⃗⋅v⃗=20+(−14)=20−14=6.\vec{u} \cdot \vec{v} = 20 + (-14) = 20 - 14 = 6.

  4. 4. Interpréter le signe

    Le produit scalaire vaut 66, c'est un nombre strictement positif. Or le signe du produit scalaire est celui de cos⁡θ\cos\theta : comme u⃗⋅v⃗>0\vec{u} \cdot \vec{v} > 0, on a cos⁡θ>0\cos\theta > 0, donc l'angle θ\theta est aigu. Le produit scalaire vaut u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 et l'angle entre les deux vecteurs est aigu.
Réponse finale
u⃗⋅v⃗=5×4+(−2)×7=6 (>0, angle aigu)\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 4 + (-2) \times 7 = 6 \ (>0,\ \text{angle aigu})
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