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Rêves Vision
Première STI2D

Angle entre deux bras d'un robot avec arccos

Énoncé

Sur un bras robotisé de l'atelier, deux segments articulés partent du même axe. Dans un repère orthonormé du plan, ils sont portés par les vecteurs u⃗ (7 ; 2)\vec{u}\,(7\,;\,2) et v⃗ (3 ; 5)\vec{v}\,(3\,;\,5). Déterminer la valeur exacte de cos⁡θ\cos\theta, où θ\theta est l'angle formé par les deux segments, puis donner la mesure de θ\theta arrondie au centième de degré.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Tu as les coordonnées : calcule séparément le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et les deux normes ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|, qui resteront sous forme de racines.
  2. Relie les deux expressions du produit scalaire pour isoler le cosinus : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}, et utilise 53×34=1802\sqrt{53} \times \sqrt{34} = \sqrt{1802}.
  3. La valeur cos⁡θ≈0,7303\cos\theta \approx 0{,}7303 n'est pas remarquable : utilise la touche cos⁡−1\cos^{-1} de la calculatrice pour obtenir θ\theta, puis arrondis au centième de degré.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer le produit scalaire

    Avec les coordonnées, u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′=7×3+2×5=21+10=31.\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y' = 7 \times 3 + 2 \times 5 = 21 + 10 = 31.

  2. 2. Calculer les deux normes

    On applique ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} à chaque vecteur. Pour u⃗\vec{u} : ∥u⃗∥=72+22=49+4=53.\|\vec{u}\| = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}. Pour v⃗\vec{v} : ∥v⃗∥=32+52=9+25=34.\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}. Ces deux normes ne sont pas des entiers, on les garde sous forme de racines.

  3. 3. Isoler le cosinus de l'angle

    On sait aussi que u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta. On en déduit que cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥=3153×34=311802\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{31}{\sqrt{53} \times \sqrt{34}} = \dfrac{31}{\sqrt{1802}}, car 53×34=53×34=1802.\sqrt{53} \times \sqrt{34} = \sqrt{53 \times 34} = \sqrt{1802}.

  4. 4. Calculer la valeur approchée du cosinus

    On calcule 1802≈42,450\sqrt{1802} \approx 42{,}450, donc cos⁡θ=311802≈3142,450≈0,7303.\cos\theta = \dfrac{31}{\sqrt{1802}} \approx \dfrac{31}{42{,}450} \approx 0{,}7303. Cette valeur n'est pas remarquable, on passe donc par la calculatrice pour obtenir l'angle.

  5. 5. Conclure sur l'angle

    On cherche l'angle θ\theta compris entre 0°0° et 180°180° tel que cos⁡θ≈0,7303\cos\theta \approx 0{,}7303. À l'aide de la touche cos⁡−1\cos^{-1} (ou arccos⁡\arccos), on obtient θ=cos⁡−1(0,7303)≈43,09°.\theta = \cos^{-1}(0{,}7303) \approx 43{,}09°. Le cosinus est positif, l'angle est donc bien aigu, ce qui est cohérent. Les deux segments du bras robotisé forment un angle d'environ 43,09°43{,}09°.
Réponse finale
cos⁡θ=3153×34=311802≈0,7303 ⇒ θ≈43,09°\cos\theta = \dfrac{31}{\sqrt{53} \times \sqrt{34}} = \dfrac{31}{\sqrt{1802}} \approx 0{,}7303 \ \Rightarrow\ \theta \approx 43{,}09°
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