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Décomposer le poids d'un panneau solaire sur un toit incliné

Énoncé

Un panneau solaire est posé sur un toit incliné à 30°30° par rapport à l'horizontale. Son poids P⃗\vec{P} a une intensité de 300300 N et pointe verticalement vers le bas. On veut connaître la composante du poids dirigée le long de la pente (vers le bas du toit) : c'est elle qui tend à faire glisser le panneau, donc la part utile pour dimensionner les fixations. On se place dans un repère orthonormé où l'axe horizontal pointe vers la droite et l'axe vertical vers le haut. Calculer la mesure de cette composante.
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  1. Place-toi dans le repère : le poids est vertical vers le bas, donc P⃗ (0 ; −300)\vec{P}\,(0\,;\,-300) en newtons.
  2. La part d'une force le long d'une direction se lit avec un produit scalaire, à condition d'utiliser un vecteur u⃗\vec{u} de norme 11 porté par la pente. Cherche les coordonnées de ce vecteur unitaire avec cos⁡30°\cos 30° et sin⁡30°\sin 30°.
  3. Le vecteur unitaire descendant la pente est u⃗ (32 ; −12)\vec{u}\,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right). Calcule alors P⃗⋅u⃗\vec{P} \cdot \vec{u} avec les coordonnées : seul le produit des ordonnées est non nul.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire les coordonnées du poids

    Le poids est vertical et dirigé vers le bas, avec une intensité de 300300 N. Dans le repère choisi (axe vertical vers le haut), il a donc pour coordonnées P⃗ (0 ; −300)\vec{P}\,(0\,;\,-300), exprimées en newtons.

  2. 2. Construire un vecteur unitaire le long de la pente

    La pente descend en faisant un angle de 30°30° sous l'horizontale. Un vecteur unitaire u⃗\vec{u} dirigé vers le bas de la pente a pour coordonnées u⃗ (cos⁡30° ; −sin⁡30°)\vec{u}\,(\cos 30°\,;\,-\sin 30°), c'est-à-dire u⃗ (32 ; −12).\vec{u}\,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right). On vérifie qu'il est bien unitaire : ∥u⃗∥=(32)2+(−12)2=34+14=1=1.\|\vec{u}\| = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1.

  3. 3. Relier la composante au produit scalaire

    La mesure de la composante de P⃗\vec{P} le long de la direction u⃗\vec{u} (le projeté orthogonal) est donnée par le produit scalaire P⃗⋅u⃗\vec{P} \cdot \vec{u}, puisque u⃗\vec{u} est unitaire. On calcule ce produit scalaire avec les coordonnées : P⃗⋅u⃗=x×x′+y×y′.\vec{P} \cdot \vec{u} = x \times x' + y \times y'.

  4. 4. Effectuer le calcul

    On remplace : P⃗⋅u⃗=0×32+(−300)×(−12)=0+150=150.\vec{P} \cdot \vec{u} = 0 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + (-300) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 0 + 150 = 150. La composante vaut donc 150150 N.

  5. 5. Vérifier et conclure

    On retrouve bien le résultat connu en mécanique : sur un plan incliné d'angle α\alpha, la part du poids le long de la pente vaut ∥P⃗∥×sin⁡α=300×sin⁡30°=300×12=150\|\vec{P}\| \times \sin\alpha = 300 \times \sin 30° = 300 \times \dfrac{1}{2} = 150 N. Le résultat positif confirme que cette composante pointe bien vers le bas de la pente, dans le sens de u⃗\vec{u}. La composante du poids le long du toit vaut 150150 N : c'est l'effort que les fixations doivent retenir.
Réponse finale
P⃗⋅u⃗=0×32+(−300)×(−12)=150 N\vec{P} \cdot \vec{u} = 0 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + (-300) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 150 \ \text{N}
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