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Rêves Vision
Première STI2D

Trouver une coordonnée pour rendre deux câbles perpendiculaires

Énoncé

Dans l'atelier, un technicien règle deux tiges métalliques pour qu'elles soient perpendiculaires. Dans un repère orthonormé du plan (unité : le centimètre), la première tige est portée par le vecteur u⃗ (8 ; y)\vec{u}\,(8\,;\,y), où yy est encore à régler, et la seconde par v⃗ (6 ; −4)\vec{v}\,(6\,;\,-4). Déterminer la valeur de yy pour laquelle les deux tiges sont perpendiculaires.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire est nul : pars de la condition u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
  2. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} avec les coordonnées en gardant yy comme inconnue : tu obtiens une expression de la forme 48−4y48 - 4y.
  3. Il reste à résoudre l'équation du premier degré 48−4y=048 - 4y = 0 pour isoler yy.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire la perpendicularité

    Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (donc les tiges perpendiculaires) si, et seulement si, leur produit scalaire est nul : u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. On cherche donc la valeur de yy qui annule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

  2. 2. Exprimer le produit scalaire en fonction de y

    Avec l'expression analytique u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y', on remplace : u⃗⋅v⃗=8×6+y×(−4)=48−4y.\vec{u} \cdot \vec{v} = 8 \times 6 + y \times (-4) = 48 - 4y.

  3. 3. Poser et résoudre l'équation

    La condition d'orthogonalité s'écrit u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, c'est-à-dire 48−4y=048 - 4y = 0. On isole yy : 4y=484y = 48, donc y=484=12.y = \dfrac{48}{4} = 12.

  4. 4. Vérifier et conclure

    On contrôle avec y=12y = 12 : u⃗⋅v⃗=8×6+12×(−4)=48−48=0.\vec{u} \cdot \vec{v} = 8 \times 6 + 12 \times (-4) = 48 - 48 = 0. Le produit scalaire est bien nul, les tiges sont donc orthogonales. Le technicien doit régler y=12y = 12 pour que les deux tiges soient perpendiculaires.
Réponse finale
48−4y=0 ⇒ y=484=1248 - 4y = 0 \ \Rightarrow\ y = \dfrac{48}{4} = 12
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