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Rêves Vision
Première STI2D

L'attenuation d'un signal le long d'un cable

Énoncé

Un signal est transmis dans un long câble découpé en tronçons identiques. À chaque tronçon, le signal perd 5 %5\,\% de sa puissance. À l'entrée du câble (tronçon 00), la puissance vaut 100 %100\,\%. On note unu_n la puissance (en pourcentage de la puissance initiale) après nn tronçons, avec u0=100u_0 = 100.

1. Montrer que (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. Le récepteur ne fonctionne plus dès que la puissance passe sous 50 %50\,\%. Déterminer le premier tronçon à partir duquel le signal est trop faible.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Perdre 5 %5\,\%, ce n'est pas enlever 55 : c'est multiplier par un coefficient. Lequel ?
  2. Diminuer de 5 %5\,\% revient à multiplier par q=1−5100=0,95q = 1 - \dfrac{5}{100} = 0{,}95.
  3. Pour la question 3, calcule les termes un par un (ou avec une boucle « tant que un⩾50u_n \geqslant 50 ») jusqu'à passer sous 5050 : compare u13u_{13} et u14u_{14}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la nature de la suite

    Perdre 5 %5\,\% de puissance, c'est garder 95 %95\,\% de la puissance précédente, donc multiplier par 0,950{,}95. On a un+1=un×0,95u_{n+1} = u_n \times 0{,}95, avec le même facteur à chaque tronçon. La suite (un)(u_n) est géométrique, de raison q=0,95q = 0{,}95.

  2. 2. Écrire le terme général

    Avec u0=100u_0 = 100 et q=0,95q = 0{,}95, le terme général d'une suite géométrique donne : un=100×0,95 n.u_n = 100 \times 0{,}95^{\,n}.

  3. 3. Encadrer le seuil en calculant les termes

    On cherche le premier rang nn tel que un<50u_n < 50. Comme 0<q<10 < q < 1, la suite est décroissante : on calcule de proche en proche. u13=100×0,95 13≈51,3 %u_{13} = 100 \times 0{,}95^{\,13} \approx 51{,}3\,\% (encore au-dessus de 5050). u14=100×0,95 14≈48,8 %u_{14} = 100 \times 0{,}95^{\,14} \approx 48{,}8\,\% (sous 5050).

  4. 4. Conclure

    C'est donc au tronçon de rang 1414 que la puissance passe pour la première fois sous le seuil de 50 %50\,\%. À partir du 14e tronçon, le signal devient trop faible et le récepteur ne fonctionne plus.
Réponse finale
un=100×0,95 n;un<50 pour la premieˋre fois au rang n=14u_n = 100 \times 0{,}95^{\,n} \quad ; \quad u_n < 50 \text{ pour la première fois au rang } n = 14
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