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Rêves Vision
Première STI2D

La charge d'une batterie multipliee chaque heure

Énoncé

Lors d'un test, on mesure le niveau de charge d'une batterie en veille. Au départ, la charge est de 100 %100\,\%. Chaque heure, le niveau de charge est multiplié par 0,90{,}9. On note unu_n la charge (en pourcentage) après nn heures, avec u0=100u_0 = 100.

1. Déterminer la nature de la suite (un)(u_n) et sa raison.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. Calculer la charge après 33 heures, puis après 55 heures (arrondir au dixième).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la nature de la suite

    Chaque heure, la charge est multipliée par le même nombre 0,90{,}9. On passe donc d'un terme au suivant en multipliant toujours par 0,90{,}9, ce qui s'écrit un+1=un×0,9u_{n+1} = u_n \times 0{,}9. La suite (un)(u_n) est donc géométrique, de raison q=0,9q = 0{,}9.

  2. 2. Écrire le terme général

    Pour une suite géométrique de premier terme u0u_0 et de raison qq, le terme général est un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}. Ici u0=100u_0 = 100 et q=0,9q = 0{,}9, donc : un=100×0,9 n.u_n = 100 \times 0{,}9^{\,n}.

  3. 3. Calculer la charge après 3 heures puis 5 heures

    Après 33 heures : u3=100×0,9 3=100×0,729=72,9 %.u_3 = 100 \times 0{,}9^{\,3} = 100 \times 0{,}729 = 72{,}9\,\%. Après 55 heures : u5=100×0,9 5=100×0,59049≈59,0 %.u_5 = 100 \times 0{,}9^{\,5} = 100 \times 0{,}59049 \approx 59{,}0\,\%. La charge diminue bien d'heure en heure (car 0<q<10 < q < 1), c'est cohérent avec une batterie qui se décharge. Après 33 heures la charge vaut 72,9 %72{,}9\,\%, et après 55 heures environ 59,0 %59{,}0\,\%.
Réponse finale
un=100×0,9 n;u3=72,9 %;u5≈59,0 %u_n = 100 \times 0{,}9^{\,n} \quad ; \quad u_3 = 72{,}9\,\% \quad ; \quad u_5 \approx 59{,}0\,\%
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